cations spécifiques, elles ont permis à des
scientifiques de domaines très divers — en
physique, en traitement du signal, en informatique, etc. — de se rendre compte qu’ils
travaillaient sur le même outil. Aller au-delà,
affiner ces outils, contrôler leurs performances : ce sont les travaux mathématiques
modernes sur l’analyse de Fourier qui ont
rendu tout cela possible. Enfin, cette théorie
a donné une technique standard de calcul
scientifique (la transformée en ondelettes
rapide) grâce à une collaboration entre
mathématiciens et spécialistes du traitement
des signaux. L’image de la figure1C a ainsi été
obtenue grâce aux mêmes bases d’ondelettes
que celles utilisées en statistique, en sismique,
ou en calcul scientifique, avec le même algorithme rapide. Et à travers le standard international JPEG-2000 pour la compression
d’images, ces ondelettes envahissent actuellement tous les domaines de l’image, de
l’Internet aux appareils photos numériques,
et se dirigent vers les satellites.
Un pont reste à construire entre le
monde des ondelettes et le monde de
la géométrie
Les bases de Fourier n’étaient pas bien
adaptées à l’analyse des phénomènes transitoires, tandis que les bases d’ondelettes le
sont. Est-ce la fin de l’histoire ? Non. En traitement d’images, comme dans tous les autres
domaines où les ondelettes sont devenues un
outil de base, chacun bute actuellement sur
le même type de problème: exploiter les régularités géométriques. En effet, on sait qu’une
image, même complexe, est remarquablement
bien représentée par un simple dessin composé de relativement peu de traits, et l’on
peut souvent assimiler les contours des objets
figurant dans l’image à des courbes géométriques assez simples. Mettre à profit ces
courbes et leur régularité devrait donc permettre d’améliorer considérablement les résultats obtenus jusqu’à présent ; mais la théorie
des ondelettes n’en est pour l’instant pas
capable. Construire ce pont avec le monde de
la géométrie pose des problèmes mathématiques difficiles. Cependant, l’enjeu scientifique et industriel étant important, on peut
s’attendre à ce qu’il soit construit dans les dix
années à venir. En France ?
Stéphane Mallat
Département de mathématiques appliquées,
École polytechnique, Palaiseau
Des ondelettes pour comprimer une image
35
Quelques références :
• B. B. Hubbard, Ondes et ondelettes - La saga d’un
outil mathématique
(Pour la Science/Belin, 1995).
• S. Mallat, Une exploration des signaux en ondelettes
(École polytechnique/Ellipses, 2000).
• Y. Meyer, Ondelettes et algorithmes concurrents
(Hermann, 1992).
scientifiques de domaines très divers — en
physique, en traitement du signal, en informatique, etc. — de se rendre compte qu’ils
travaillaient sur le même outil. Aller au-delà,
affiner ces outils, contrôler leurs performances : ce sont les travaux mathématiques
modernes sur l’analyse de Fourier qui ont
rendu tout cela possible. Enfin, cette théorie
a donné une technique standard de calcul
scientifique (la transformée en ondelettes
rapide) grâce à une collaboration entre
mathématiciens et spécialistes du traitement
des signaux. L’image de la figure1C a ainsi été
obtenue grâce aux mêmes bases d’ondelettes
que celles utilisées en statistique, en sismique,
ou en calcul scientifique, avec le même algorithme rapide. Et à travers le standard international JPEG-2000 pour la compression
d’images, ces ondelettes envahissent actuellement tous les domaines de l’image, de
l’Internet aux appareils photos numériques,
et se dirigent vers les satellites.
Un pont reste à construire entre le
monde des ondelettes et le monde de
la géométrie
Les bases de Fourier n’étaient pas bien
adaptées à l’analyse des phénomènes transitoires, tandis que les bases d’ondelettes le
sont. Est-ce la fin de l’histoire ? Non. En traitement d’images, comme dans tous les autres
domaines où les ondelettes sont devenues un
outil de base, chacun bute actuellement sur
le même type de problème: exploiter les régularités géométriques. En effet, on sait qu’une
image, même complexe, est remarquablement
bien représentée par un simple dessin composé de relativement peu de traits, et l’on
peut souvent assimiler les contours des objets
figurant dans l’image à des courbes géométriques assez simples. Mettre à profit ces
courbes et leur régularité devrait donc permettre d’améliorer considérablement les résultats obtenus jusqu’à présent ; mais la théorie
des ondelettes n’en est pour l’instant pas
capable. Construire ce pont avec le monde de
la géométrie pose des problèmes mathématiques difficiles. Cependant, l’enjeu scientifique et industriel étant important, on peut
s’attendre à ce qu’il soit construit dans les dix
années à venir. En France ?
Stéphane Mallat
Département de mathématiques appliquées,
École polytechnique, Palaiseau
Des ondelettes pour comprimer une image
35
Quelques références :
• B. B. Hubbard, Ondes et ondelettes - La saga d’un
outil mathématique
(Pour la Science/Belin, 1995).
• S. Mallat, Une exploration des signaux en ondelettes
(École polytechnique/Ellipses, 2000).
• Y. Meyer, Ondelettes et algorithmes concurrents
(Hermann, 1992).