Solutions
546
On remarque que les contraintes dominées : (1), (3) et (4) sont représentées par des
segments de droite situés au dessous de BA qui est associé à la contrainte (2) plus contraignante
que les trois autres.
8.4 1) Les équa tions et in équa tions expri mant ce pro blème s’écrivent :
x 1 1
x 2 1 x 3 5 250 (1)
7x 1 1 5x 2 1 2x 3
250
<
3 1 14x 1 1 10x 2 1 4x 3 < 1 500 (2)
x 1 1 2x 2 1 6x 3 <
650 (3 r)
2,2 <
x 1 1 2x 2 1 6x 3
250
< 2,6 1
x 1 1 2x 2 1 6x 3 >
550 (3s)
x 3
250
< 0,28 1
x 3 <
70 (4)
x 1 ,
x 2 ,
x 3 >
0
12x 1 1 36x 2 1 10x 3 5
z 3min4
les x 1 , x 2 et x 3 repré sen tant les volumes des trois gaz en milliers de m
3
.
Pour résoudre on peut sim pli fier en uti li sant la pre mière équa tion, pour ne plus lais ser
sub sis ter que les variables x 2 et x 3 , par exemple : on subs ti tuera à x 1 , la quan tité
250 2 (x 2 + x 3 ) ; mais il faut alors rendre expli cite la contrainte x 1 > 0, c’est- à-dire rajou ter
au PL la contrainte x 2 1 x 3 < 250.
On obtient faci le ment (et l’on peut contrô ler gra phi que ment) :
x 2 5 1200/11
et
x 3 5 640/11.
Par suite :
x 1 5 250 2 (x 2 1 x 3 ) 5 910/11.
Mais on peut aussi abor der direc te ment le pro blème, en trans for mant la pre mière équa tion
en deux in équa tions : x 1 1 x 2 1 x 3 > 250 et x 1 1 x 2 1 x 3 < 250. Soit après intro duc tion
des variables d’écart
*
res pec tives : x 1 et x 2 :
x 1 1 x 2 1 x 3 2 x 1
5 250 (1r)
x 1 1 x 2 1 x 3
1 x 2 5 250 (1s)
Il faut ensuite uti li ser deux variables arti fi cielles : une dans (1r), l’autre dans (3s).
On obtient alors la matrice opti male, après un long cal cul (com por tant l’éli mi na tion des
deux variables arti fi cielles).
* la variable d’écart asso ciée à (2) est alors notée x 3 ; celles asso ciées à (3r) et (3s), resp. x 4 et
x 5 , celle asso ciée à (4), x 6 .
e
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On remarque que les contraintes dominées : (1), (3) et (4) sont représentées par des
segments de droite situés au dessous de BA qui est associé à la contrainte (2) plus contraignante
que les trois autres.
8.4 1) Les équa tions et in équa tions expri mant ce pro blème s’écrivent :
x 1 1
x 2 1 x 3 5 250 (1)
7x 1 1 5x 2 1 2x 3
250
<
3 1 14x 1 1 10x 2 1 4x 3 < 1 500 (2)
x 1 1 2x 2 1 6x 3 <
650 (3 r)
2,2 <
x 1 1 2x 2 1 6x 3
250
< 2,6 1
x 1 1 2x 2 1 6x 3 >
550 (3s)
x 3
250
< 0,28 1
x 3 <
70 (4)
x 1 ,
x 2 ,
x 3 >
0
12x 1 1 36x 2 1 10x 3 5
z 3min4
les x 1 , x 2 et x 3 repré sen tant les volumes des trois gaz en milliers de m
3
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Pour résoudre on peut sim pli fier en uti li sant la pre mière équa tion, pour ne plus lais ser
sub sis ter que les variables x 2 et x 3 , par exemple : on subs ti tuera à x 1 , la quan tité
250 2 (x 2 + x 3 ) ; mais il faut alors rendre expli cite la contrainte x 1 > 0, c’est- à-dire rajou ter
au PL la contrainte x 2 1 x 3 < 250.
On obtient faci le ment (et l’on peut contrô ler gra phi que ment) :
x 2 5 1200/11
et
x 3 5 640/11.
Par suite :
x 1 5 250 2 (x 2 1 x 3 ) 5 910/11.
Mais on peut aussi abor der direc te ment le pro blème, en trans for mant la pre mière équa tion
en deux in équa tions : x 1 1 x 2 1 x 3 > 250 et x 1 1 x 2 1 x 3 < 250. Soit après intro duc tion
des variables d’écart
*
res pec tives : x 1 et x 2 :
x 1 1 x 2 1 x 3 2 x 1
5 250 (1r)
x 1 1 x 2 1 x 3
1 x 2 5 250 (1s)
Il faut ensuite uti li ser deux variables arti fi cielles : une dans (1r), l’autre dans (3s).
On obtient alors la matrice opti male, après un long cal cul (com por tant l’éli mi na tion des
deux variables arti fi cielles).
* la variable d’écart asso ciée à (2) est alors notée x 3 ; celles asso ciées à (3r) et (3s), resp. x 4 et
x 5 , celle asso ciée à (4), x 6 .
e