Solu tions des exer cices du cha pitre 8
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puis, en posant z j 5 a c i # a ij (ou A
i
est une colonne de base) :
3z 2 z 3 z 4 z 6 4 5 3z 5 z 1 z 7 4 # a 5 30 5 04 # a 5 C
10
3
5
5
3
5
3
S ;
d’où l’on tire :
D 2 5 c 2 2 z 2 5
2
3
; D 3 5 c 3 2 z 3 5 22 ; D 4 5 c 4 2 z 4 5 2
2
3
; D 6 5 c 6 2 z 6 5 2
5
3
;
la seule valeur posi tive étant D 2 , on fera entrer A
2
dans la base. On cal cule alors :
b 5
a 52
5
31/3
1/3
5 31 ;
b 1
a 12
5
5/3
2/3
5
5
2
;
b 7
a 72
5
11/3
21/3
5 211 ,
d’où le choix de A
1
comme colonne sor tante.
Les nou velles coor don nées de b sont (« vec teur » second membre) :
b r
2 5
5
2
; br 5 5
19
2
; br 7 5
9
2
.
En fonc tion de la nou velle base, on peut poser :
D
1 1 1 0
3 3 1 1
2 1 4 0
(1) (3) (4) (6)
T 5 D
1 1 0
2 0 0
1 0 1
(2) (5) (7)
T # D
a 21 a 23 a 24 a 26
a 51 a 53 a 54 a 56
a 71 a 73 a 74 a 76
T
puis après cal cul de la matrice inverse :
a 5 D
a 21 a 23 a 24 a 26
a 51 a 53 a 54 a 56
a 71 a 73 a 74 a 76
T 5 F
0
1
2
0
1 2
1
2
0
0 2
1
2
1
V # D
1 1 1 0
3 3 1 1
2 1 4 0
T 5 F
3
2
3
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
7
2
2
1
2
V
Dans ces condi tions :
3z 1 z 2 z 4 z 6 4 5 3z 2 z 5 z 7 4 # a 5 34 0 04 # a 5 36 6 2 2 4
et :
D 1 5 c 1 2 z 1 5 21 ; D 3 5 c 3 2 z 3 5 23 ; D 4 5 c 4 2 z 4 5 21 ; D 6 5 c 6 2 z 6 5 22.
On voit que l’on ne peut plus faire entrer aucun vec teur dans la base sans dimi nuer la
valeur de la fonc tion éco no mique.
NB. Connais sant B
21
, on peut véri fier le vec teur b, par b 5 B
2 1 # b où b est le vec teur
ini tial des seconds membres.