Solu tions des exer cices du cha pitre 5
483
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
(5) four nit alors b : b(7,76 + 1 + 0,8 + 0,68) = 1 , d’où b = 1/10,24.
Fina le ment P
* 5 [0,7578 ; 0,0977 ; 0,0781 ; 0,0664].
c) La pro ba bi lité p cherc hée est : p 5 p
*
0
# p 0 1 p
*
1
# p 1 1 p
*
2
# p 2 1 p
*
3
# p 3 , or P
* 5 P
* # M
s’écrit :
3p
*
0 ; p
*
1 ; p
*
2 ; p
*
3 4 # E
p 0 q 0 0 0
p 1 0 q 1 0
p 2 0 0 q 2
p 3 q 3 0 0
U , d’où : p
*
0
# p 0 1 p
*
1
# p 1 1 p
*
2
# p 2 1 p
*
3
# p 3 5 p
*
0 .
Donc p 5 p
*
0 5 0,7578 : cette valeur est beau coup trop faible : un canal qui ne trans
mettrait cor rec te ment que 3 bits sur 4 serait à réfor mer d’urgence ! Dans un cas réel, le cahier
des charges impo
se rait que p = 0,999... (en fixant le nombre de 9 après la vir gule).
5.2 On montre aisément que G est fortement connexe ; en outre G comporte 4 boucles :
la chaîne est donc régulière puisque comportant une seule classe dʼétats, apériodique. On a
donc P
*
= P(0) # M
*
et P
*
= P
* # M. Cette rela tion peut s’écrire P
* # (M – I) = 0.
Pour obte nir P* 5 3p
*
1 , p
*
1 , c , p
*
n 4, il suf fit de résoudre le sys tème :
b
P
* # (M 2 I) 5 0
p
*
0 1 p
*
1 1 c 1 p
*
n 5 1,
qui s’écrit ici :
g
20,8 p
*
0
1 0,1p
*
2 1 0,6p
*
3 5 0
0,2p
*
0
2 0,9p
*
1
1 0,2p
*
3 5 0
0,3p
*
0
1 0,8p
*
1
2 0,8p
*
2
1 0,1p
*
3 5 0
0,3p
*
0
1 0,1p
*
1
1 0,7p
*
2 2 0,9p
*
3 5 0
p
*
0
1
p
*
1
1
p
*
2 1
p
*
3
5 1
qui a bien pour solu tion :
p
*
0 5
457
1 668
, p
*
1 5
220
1 668
, p
*
2 5
458
1 668
, p
*
3 5
553
1 668
.
Rap pe lons que pour une chaîne régu lière, M
* 5 lim
nS`
M
n
est une matrice dont toutes les
lignes sont iden tiques, cha cune étant égale au vecteur ligne P
*
.
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
(5) four nit alors b : b(7,76 + 1 + 0,8 + 0,68) = 1 , d’où b = 1/10,24.
Fina le ment P
* 5 [0,7578 ; 0,0977 ; 0,0781 ; 0,0664].
c) La pro ba bi lité p cherc hée est : p 5 p
*
0
# p 0 1 p
*
1
# p 1 1 p
*
2
# p 2 1 p
*
3
# p 3 , or P
* 5 P
* # M
s’écrit :
3p
*
0 ; p
*
1 ; p
*
2 ; p
*
3 4 # E
p 0 q 0 0 0
p 1 0 q 1 0
p 2 0 0 q 2
p 3 q 3 0 0
U , d’où : p
*
0
# p 0 1 p
*
1
# p 1 1 p
*
2
# p 2 1 p
*
3
# p 3 5 p
*
0 .
Donc p 5 p
*
0 5 0,7578 : cette valeur est beau coup trop faible : un canal qui ne trans
mettrait cor rec te ment que 3 bits sur 4 serait à réfor mer d’urgence ! Dans un cas réel, le cahier
des charges impo
se rait que p = 0,999... (en fixant le nombre de 9 après la vir gule).
5.2 On montre aisément que G est fortement connexe ; en outre G comporte 4 boucles :
la chaîne est donc régulière puisque comportant une seule classe dʼétats, apériodique. On a
donc P
*
= P(0) # M
*
et P
*
= P
* # M. Cette rela tion peut s’écrire P
* # (M – I) = 0.
Pour obte nir P* 5 3p
*
1 , p
*
1 , c , p
*
n 4, il suf fit de résoudre le sys tème :
b
P
* # (M 2 I) 5 0
p
*
0 1 p
*
1 1 c 1 p
*
n 5 1,
qui s’écrit ici :
g
20,8 p
*
0
1 0,1p
*
2 1 0,6p
*
3 5 0
0,2p
*
0
2 0,9p
*
1
1 0,2p
*
3 5 0
0,3p
*
0
1 0,8p
*
1
2 0,8p
*
2
1 0,1p
*
3 5 0
0,3p
*
0
1 0,1p
*
1
1 0,7p
*
2 2 0,9p
*
3 5 0
p
*
0
1
p
*
1
1
p
*
2 1
p
*
3
5 1
qui a bien pour solu tion :
p
*
0 5
457
1 668
, p
*
1 5
220
1 668
, p
*
2 5
458
1 668
, p
*
3 5
553
1 668
.
Rap pe lons que pour une chaîne régu lière, M
* 5 lim
nS`
M
n
est une matrice dont toutes les
lignes sont iden tiques, cha cune étant égale au vecteur ligne P
*
.