Chapitre 9 • Introduction à la théorie des jeux
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qui, dans le cas géné ral, dif fère de la valeur du jeu, contrai re ment à ce qui se pro duit
quand le jeu est à point selle unique.
On notera :
1) que ce pro blème conduit à poser un type par ti cu lier de pro gramme linéaire, ce qui
découle de son carac tère com bi na toire ;
2) que la connais sance des fré quences (probabilités) p 1 , p 2 , c , et q 1 , q 2 , c , à
adop ter respectivement pour les stra té gies 1, 2, c , et I, II, c , par les adver
saires, se double de la mise en évi dence d’une valeur du jeu, g, qui repré sente le
gain (resp. la perte) moyen(ne) de cha cun des joueurs, ce qui res ti tue la notion
d’équi libre ren contrée pré cé dem ment ; cela veut dire qu’aucun des joueurs n’a
inté rêt à s’écar ter des fré quences cal cu lées, de même que, dans un jeu à point selle,
il n’a pas d’inté rêt à s’écar ter de la stra té gie pure cor res pon dant à ce pointselle.
3) qu’il est très impor tant de tirer au hasard, tout en espectant les fré quences, la
suc ces sion des stra té gies pures employées, de manière à lais ser tou jours l’adver saire
dans l’igno rance du coup sui vant (le tirage doit avoir lieu comme dans les méthodes
de simu la tion, cf. cha pitre 11).
9.4 autre méthode de cal cul :
les p.l. des deux joueurs sont en dua lIté
La méthode pré cé dente peut se révé ler déli cate d’emploi, dans cer tains pro blèmes
pré sen tant des dégé né res cences. C’est pour quoi nous don nons, cidessous, une
méthode plus sys té ma tique, dans laquelle toutes les variables sub sistent jus qu’à la
fin des cal culs.
Repre nons la matrice 3 de l’exemple pré cé dent. Le maximin est –1, le mini max, 2 : la
valeur g du jeu est com prise entre ces deux limites, et on ne peut donc pas, a priori,
affir mer qu’elle est posi tive. En revanche, si l’on ajou tait 2 à tous les élé ments de la
matrice (ce qui ne change rien quant aux situa tions rela tives des deux joueurs), on
aurait : gr 5 g 1 2, d’où : maximin = 1, mini max = 4 et donc l’assu rance que gr est
stric te ment posi tif.
En fait pour être sûr que g′ est strictement positif, il suffit d’ajouter aux élé ments de
la matrice du jeu un nombre tel que tous deviennent stric te ment posi tifs. Par exemple, dans le cas qui nous occupe, si l’on ajoute 4, on aura la matrice 3 bis :
B
Matrice 3bis
A
6
6
5
8
7
5
2
1
3
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qui, dans le cas géné ral, dif fère de la valeur du jeu, contrai re ment à ce qui se pro duit
quand le jeu est à point selle unique.
On notera :
1) que ce pro blème conduit à poser un type par ti cu lier de pro gramme linéaire, ce qui
découle de son carac tère com bi na toire ;
2) que la connais sance des fré quences (probabilités) p 1 , p 2 , c , et q 1 , q 2 , c , à
adop ter respectivement pour les stra té gies 1, 2, c , et I, II, c , par les adver
saires, se double de la mise en évi dence d’une valeur du jeu, g, qui repré sente le
gain (resp. la perte) moyen(ne) de cha cun des joueurs, ce qui res ti tue la notion
d’équi libre ren contrée pré cé dem ment ; cela veut dire qu’aucun des joueurs n’a
inté rêt à s’écar ter des fré quences cal cu lées, de même que, dans un jeu à point selle,
il n’a pas d’inté rêt à s’écar ter de la stra té gie pure cor res pon dant à ce pointselle.
3) qu’il est très impor tant de tirer au hasard, tout en espectant les fré quences, la
suc ces sion des stra té gies pures employées, de manière à lais ser tou jours l’adver saire
dans l’igno rance du coup sui vant (le tirage doit avoir lieu comme dans les méthodes
de simu la tion, cf. cha pitre 11).
9.4 autre méthode de cal cul :
les p.l. des deux joueurs sont en dua lIté
La méthode pré cé dente peut se révé ler déli cate d’emploi, dans cer tains pro blèmes
pré sen tant des dégé né res cences. C’est pour quoi nous don nons, cidessous, une
méthode plus sys té ma tique, dans laquelle toutes les variables sub sistent jus qu’à la
fin des cal culs.
Repre nons la matrice 3 de l’exemple pré cé dent. Le maximin est –1, le mini max, 2 : la
valeur g du jeu est com prise entre ces deux limites, et on ne peut donc pas, a priori,
affir mer qu’elle est posi tive. En revanche, si l’on ajou tait 2 à tous les élé ments de la
matrice (ce qui ne change rien quant aux situa tions rela tives des deux joueurs), on
aurait : gr 5 g 1 2, d’où : maximin = 1, mini max = 4 et donc l’assu rance que gr est
stric te ment posi tif.
En fait pour être sûr que g′ est strictement positif, il suffit d’ajouter aux élé ments de
la matrice du jeu un nombre tel que tous deviennent stric te ment posi tifs. Par exemple, dans le cas qui nous occupe, si l’on ajoute 4, on aura la matrice 3 bis :
B
Matrice 3bis
A
6
6
5
8
7
5
2
1
3