Exercices
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2. On pose le volume total égal à v, la quan tité du troi sième gaz à ne pas
dépas ser, à l. Étu dier la varia tion de l’opti mum en fonc tion de ν et de l
(le tableau opti mal du primal est donné dans le cor rigé).
**8.5 Réso lu tion d’un P.L. avec variable arti fi cielle
Par la méthode des tableaux, résoudre le pro gramme linéaire :
2x 1
1
2x 2
2
x 3
>
2
3x 1
2
4x 2
<
3
x 2
1
3x 3
<
5
x 1
,
x 2
,
x 3
>
0
5x 1
2
2x 2
1
3x 3
5 z 3max4
On­uti­ ­ li­ ­ sera­la­méthode­des­péna­ ­ li­ ­ tés­(«­méthode­du­«­grand­M­»­»)
**8.6 Méthode d’éli mi na tion de Fourier
La méthode de Fourier (1824) pour le trai te ment direct des in équa tions linéaires
consiste, dans le cas d’un pro gramme linéaire, à chercher les bornes d’une variable
en fonc tion des autres variables et à éli mi ner peu à peu les variables qui ont pu être
arbi trées à leur borne numé rique infé rieure ou supé rieure, selon le signe de leur coef -
fi­ ­ cient­dans­la­fonc­ ­ tion­éco­ ­ no­ ­ mique.
Soit à minimi ser la fonc tion nelle :
F = x 1 + x 2 + x 3 ,
sous les contraintes :
g
–20x 1 + 12x 2 – 15x 3 < 60 (1)
x 1 +
2x 2 –
3x 3 <
6 (2)
3x 1 +
6x 2 +
4x 3 < 12 (3)
–20x 1 – 15x 2 +
3x 3 < 60 (4)
10x 1 +
5x 2 –
2x 3 > 10 (5)
6x 1 +
7x 2 + 42x 3 > 42 (6)
x 1 ,
x 2 ,
x 3 >
0
1. Écrire les six in équa tions don nant x 1 en fonc tion des autres variables et
mon trer que l’une d’entre elles est redon dante (c­à­d iso ler le terme en x 1
dans les six in équa tions).
2. Uti li sant le fait qu’il reste une in équa tion seule ment du type x 1 < f (x 2 , x 3 )
et plu sieurs du type x 1 > w i (x 2 , x 3 ), mon trer que, quel que soit i :
w i (x 2 , x 3 ) < f (x 2 , x 3 ).