8.7 Dua lité
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Onarenommélesvariablesd’écartdudual:y 1 , y 2 et y 3 (au lieu de y 5 , y 6 et y 7 ) ; de
même pour celles du primal : x 1 , x 2 , x 3 et x 4 , (au lieu de x 4 , x 5 , x 6 et x 7 ).
Onconstatealorsàl’opti mumduprimaletdudualque:
1) la valeur de zr 5 11 500 de l’opti mum du dual égale celle de l’opti mum du primal ;
2) les valeurs des variables de base au dual : y 2 , y 3 et y 4 sont égales, au signe
près, aux valeurs de D 2 , D 3 et D 4 au primal ;
3) les valeurs des D r
j du dual : D r
1, D r
1 , D r
2 et D r
3 sont égales, au signe près, aux
valeurs de x 1 , x 1 , x 2 et x 3 au primal.
Onmontrequecettecor res pon danceentrel’opti mumduprimaletl’opti mumdudual est géné rale :
c
y i 5 2 D i et x i 5 2 D r
i pour i 5 1, 2, c , m
y j 5 2 D j et x j 5 2 D r
j pour j 5 1, 2, c , n.
De plus, si x j est dans la base opti male du primal (resp. hors- base), alors y j est horsbase au dual (resp. dans la base). De même si y i est dans la base du dual (resp. horsbase), alors x i esthors- baseauprimal(resp.danslabase).Onlemon treraau8.7.5.
4) On peut don ner aussi une cor res pon dance entre les coef fi cients a kl du tableau
opti mal du primal et ar kl , ceux du tableau opti mal du dual, en se limi tant aux colonnes hors- base (les colonnes de base sont tri viales, puisque uni taires) :
a k,l 5 2 a r l ,k et a r
k,l 5 2 a l ,k .
Une manière pra tique d’appli quer cette règle de cor res pon dance est de conden ser en
un tableau unique le tableau opti mal et celui du dual :
Onyaréor donnélabaseopti maleduprimal:x 1 , x 2 , x 3 , x 1 ; x 2 , x 3 , x 4 (en met tant en
tête les variables de base, puis les variables hors- base) et le tableau opti mal du primal
enconsé quence(enéchan geantsatroi sièmeetsaqua trièmeligne)etl’onafaitfigu -
rerlalignedelafonc tionéco no miqueàl’opti mumduprimal(lesΔ j et z) au- dessus
du tableau (au lieu d’au- dessous).
Onyaaussiréor donnélabaseopti maledudual:y 1 , y 2 , y 3 , y 1 ; y 2 , y 3 , y 4 (en met tant
en tête les variables hors- base, puis les variables de base) et le tableau opti mal du
dual en consé quence (en pla çant en der nière ligne, sa pre mière ligne, puis en réor -
don nantlescolonnesdansl’ordreci- dessus.Enfinlevec teurdessecondsmembresaété placé à gauche du tableau au lieu d’à droite. Le tableau opti mal du dual est alors
placé immé dia te ment au- dessous de celui du primal.
Ondéduitalorslesous- tableaunontri vialdutableauopti maldudual(c’est- à-direles colonnes hors- base, les seconds membres et les Dr des variables hors- base), à
par tir du sous- tableau non tri vial du tableau opti mal du primal, en trans po sant ce
der nier sous- tableau, puis en mul ti pliant par –1 tous les élé ments du sous- tableau
trans posé ; les deux sous- tableaux non tri viaux, res pec ti ve ment du primal et du dual,
sont enca drés d’un trait épais :
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Onarenommélesvariablesd’écartdudual:y 1 , y 2 et y 3 (au lieu de y 5 , y 6 et y 7 ) ; de
même pour celles du primal : x 1 , x 2 , x 3 et x 4 , (au lieu de x 4 , x 5 , x 6 et x 7 ).
Onconstatealorsàl’opti mumduprimaletdudualque:
1) la valeur de zr 5 11 500 de l’opti mum du dual égale celle de l’opti mum du primal ;
2) les valeurs des variables de base au dual : y 2 , y 3 et y 4 sont égales, au signe
près, aux valeurs de D 2 , D 3 et D 4 au primal ;
3) les valeurs des D r
j du dual : D r
1, D r
1 , D r
2 et D r
3 sont égales, au signe près, aux
valeurs de x 1 , x 1 , x 2 et x 3 au primal.
Onmontrequecettecor res pon danceentrel’opti mumduprimaletl’opti mumdudual est géné rale :
c
y i 5 2 D i et x i 5 2 D r
i pour i 5 1, 2, c , m
y j 5 2 D j et x j 5 2 D r
j pour j 5 1, 2, c , n.
De plus, si x j est dans la base opti male du primal (resp. hors- base), alors y j est horsbase au dual (resp. dans la base). De même si y i est dans la base du dual (resp. horsbase), alors x i esthors- baseauprimal(resp.danslabase).Onlemon treraau8.7.5.
4) On peut don ner aussi une cor res pon dance entre les coef fi cients a kl du tableau
opti mal du primal et ar kl , ceux du tableau opti mal du dual, en se limi tant aux colonnes hors- base (les colonnes de base sont tri viales, puisque uni taires) :
a k,l 5 2 a r l ,k et a r
k,l 5 2 a l ,k .
Une manière pra tique d’appli quer cette règle de cor res pon dance est de conden ser en
un tableau unique le tableau opti mal et celui du dual :
Onyaréor donnélabaseopti maleduprimal:x 1 , x 2 , x 3 , x 1 ; x 2 , x 3 , x 4 (en met tant en
tête les variables de base, puis les variables hors- base) et le tableau opti mal du primal
enconsé quence(enéchan geantsatroi sièmeetsaqua trièmeligne)etl’onafaitfigu -
rerlalignedelafonc tionéco no miqueàl’opti mumduprimal(lesΔ j et z) au- dessus
du tableau (au lieu d’au- dessous).
Onyaaussiréor donnélabaseopti maledudual:y 1 , y 2 , y 3 , y 1 ; y 2 , y 3 , y 4 (en met tant
en tête les variables hors- base, puis les variables de base) et le tableau opti mal du
dual en consé quence (en pla çant en der nière ligne, sa pre mière ligne, puis en réor -
don nantlescolonnesdansl’ordreci- dessus.Enfinlevec teurdessecondsmembresaété placé à gauche du tableau au lieu d’à droite. Le tableau opti mal du dual est alors
placé immé dia te ment au- dessous de celui du primal.
Ondéduitalorslesous- tableaunontri vialdutableauopti maldudual(c’est- à-direles colonnes hors- base, les seconds membres et les Dr des variables hors- base), à
par tir du sous- tableau non tri vial du tableau opti mal du primal, en trans po sant ce
der nier sous- tableau, puis en mul ti pliant par –1 tous les élé ments du sous- tableau
trans posé ; les deux sous- tableaux non tri viaux, res pec ti ve ment du primal et du dual,
sont enca drés d’un trait épais :