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Soit un phé no mène éco no mique y, résul tat de plu sieurs effets élé men taires :
e 1 , e n , c , e n .
Si l’on sup pose que les effets élé men taires consi dé rés sont addi tifs, on a :
y 5 e 1 1 e 2 1 c 1 e n ;
Par exemple, y pour rait repré sen ter une quan tité de pro duit, qui est fabri qué dans n
ate liers ; si l’on sup pose, en outre, que cha cun des effets élé men taires est pro por tion
nel à sa cause x i , on peut écrire :
y 5 a 1 x 1 1 a 2 x 2 1 c 1 a n x n
(8.1)
a 1 , a 2 , c , a n étant les coef fi cients de pro por tion na lité.
Pour notre exemple, e i repré senterait la quan tité fabri quée dans un ate lier i, qui,
elle même, est pro por tion nelle au temps de fabri ca tion x i (a i étant une vitesse de
fabri ca tion) : e i 5 a i x i .
L’éga lité (8.1) est du pre mier degré par rap port aux variables x 1 , x 2 , c , x n : on dit
encore qu’elle est une fonc tion linéaire de ces variables.
Il arrive que, dans beau coup de pro blèmes, les m 1 1 effets soient tous pro por
tion nels aux causes (au moins de façon suf fi sam ment appro chée) ; le pro blème peut
alors se décrire uni que ment au moyen d’équa tions linéaires :
y 1 5 a 11 x 1
1 a 12 x 2
1 c 1 a 1n x n
……………………………………………
y m 5 a m1 x 1 1 a m2 x 2 1 c 1 a mn x n
y m 1 1 5 a m 1 1,1 x 1 1 a m 1 1,2 x 2 1 c 1 a m 1 1, n x n
Comme nous l’avons déjà pré cisé dans le cha pitre 1, en limi tant supé rieu re ment ou
inférieurement les m pre miers effets :
y 1 < b 1 ou y 1 > b 1 ; y 2 < b 2 ou y 2 > b 2 ; c ; y m < b m ou y m > b m ,
c’est àdire qu’en écri vant m contraintes, on per met l’opti mi sation du (m 1 1)
e
effet :
3max4 y m 1 1 5 l j # x 1 1 l 2 # x 2 1 c 1 l n # x m où l j 5 a m 1 1, j pour j = 1 à n
est la fonc tion éco no mique du pro blème ; y m+1 est souvent noté : z ;
l j 5 a m11, j est le plus souvent noté c j .
La pro gram ma tion
Linéaire
Soit un phé no mène éco no mique y, résul tat de plu sieurs effets élé men taires :
e 1 , e n , c , e n .
Si l’on sup pose que les effets élé men taires consi dé rés sont addi tifs, on a :
y 5 e 1 1 e 2 1 c 1 e n ;
Par exemple, y pour rait repré sen ter une quan tité de pro duit, qui est fabri qué dans n
ate liers ; si l’on sup pose, en outre, que cha cun des effets élé men taires est pro por tion
nel à sa cause x i , on peut écrire :
y 5 a 1 x 1 1 a 2 x 2 1 c 1 a n x n
(8.1)
a 1 , a 2 , c , a n étant les coef fi cients de pro por tion na lité.
Pour notre exemple, e i repré senterait la quan tité fabri quée dans un ate lier i, qui,
elle même, est pro por tion nelle au temps de fabri ca tion x i (a i étant une vitesse de
fabri ca tion) : e i 5 a i x i .
L’éga lité (8.1) est du pre mier degré par rap port aux variables x 1 , x 2 , c , x n : on dit
encore qu’elle est une fonc tion linéaire de ces variables.
Il arrive que, dans beau coup de pro blèmes, les m 1 1 effets soient tous pro por
tion nels aux causes (au moins de façon suf fi sam ment appro chée) ; le pro blème peut
alors se décrire uni que ment au moyen d’équa tions linéaires :
y 1 5 a 11 x 1
1 a 12 x 2
1 c 1 a 1n x n
……………………………………………
y m 5 a m1 x 1 1 a m2 x 2 1 c 1 a mn x n
y m 1 1 5 a m 1 1,1 x 1 1 a m 1 1,2 x 2 1 c 1 a m 1 1, n x n
Comme nous l’avons déjà pré cisé dans le cha pitre 1, en limi tant supé rieu re ment ou
inférieurement les m pre miers effets :
y 1 < b 1 ou y 1 > b 1 ; y 2 < b 2 ou y 2 > b 2 ; c ; y m < b m ou y m > b m ,
c’est àdire qu’en écri vant m contraintes, on per met l’opti mi sation du (m 1 1)
e
effet :
3max4 y m 1 1 5 l j # x 1 1 l 2 # x 2 1 c 1 l n # x m où l j 5 a m 1 1, j pour j = 1 à n
est la fonc tion éco no mique du pro blème ; y m+1 est souvent noté : z ;
l j 5 a m11, j est le plus souvent noté c j .
La pro gram ma tion
Linéaire