6.2 Loi de sur vie : forme ana ly tique
235
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
ancien de MTBF
1
désor mais réservé au cas de sys tèmes répa rables (et non pas d’un
com po sant ou un équi pe ment isolé).
Bien entendu la loi « conti nue » n’est qu’une loi idéale, tirée de l’obser va tion par
le sta tisti cien, d’après des don nées du même type que celles dont nous avons fait
usage dans l’exemple traité plus haut (Tab. 6.1).
Dans beau coup de pro blèmes pra tiques, on n’a pas besoin de cette loi. C’est le cas
lorsque, pour exé cu ter un cal cul sur ordi na teur, il est néces saire de « discrétiser » la
loi conti nue qu’on vient de tirer des don nées expé ri men tales dis crètes. En revanche,
les méthodes sta tistiques sont très utiles si les don nées expé ri men tales contiennent
des points aber rants ou bien des « trous ».
Par des méthodes sta tistiques que nous ne pré ci sons pas ici, on a pu trou ver
l’expres sion conti nue sui vante pour l’exemple cité plus haut :
v(t) 5 e
2 (0, 12t)
5
,
ce qui cor res pond à une loi dite « de Weibull », de la forme v1 t 2 5 e
2 1at2 b avec les
valeurs a 5 0,12 ; b 5 5.
On a alors t 5 7,64 au lieu de la valeur expé ri men tale 7,8 et des écarts entre la
courbe idéale et la courbe pra tique (figure 6.8).
Don nons quelques com plé ments sur la loi de Weibull. Cette loi dépend de deux
para mètres posi tifs : b est le para mètre de « forme » (cf. courbes ci dessous Fig 6.7)
et a, celui de « durée de vie ».
La fia bi lité est v(t) 5 e
2 (a t)
b
.
La den sité de pro ba bi lité de défaillance est : i(t) 5 2v r(t) 5 ab # (at)
b21 # e
2 (at) b
.
Le taux d’ava rie est : l 1 t 2 5 ab # 1 at 2
b21
.
Ce taux est stric te ment crois sant pour b . 1 ; il est constant pour b 5 1 (on
retrouve alors la loi expo nen tielle : v(t) 5 e
2at
). Ce taux serait décrois sant pour
b , 1 (cas peu réa liste).
Notons que pour b 5 2, on obtient la loi de Rayleigh Maxwell pour laquelle le
taux d’ava rie croît linéai re ment avec t ; en effet, on a alors : l(t) 5 2 a
2
t. On montre
en outre que pour b 5 3,25 et a 5 1, la loi de Weibull donne une bonne approxi ma
tion de la loi nor male (gaussienne).
La « durée de vie moyenne » MTTF (Mean Time To Failure), en fait E(T), vaut :
t 5 3
`
0
i(t)dt 5
1
a G a1 1
1
b
b
où G(x) 5 3
`
0
t
x 2 1
e
2 t
dt est la fonc tion fac to rielle, qui vaut 1 x 2 12 ! pour x entier
posi tif, nom mée aussi fonc tion « gamma ».
1. Voir, plus loin, le para graphe sur la sûreté de fonc tion ne ment des sys tèmes.
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ancien de MTBF
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désor mais réservé au cas de sys tèmes répa rables (et non pas d’un
com po sant ou un équi pe ment isolé).
Bien entendu la loi « conti nue » n’est qu’une loi idéale, tirée de l’obser va tion par
le sta tisti cien, d’après des don nées du même type que celles dont nous avons fait
usage dans l’exemple traité plus haut (Tab. 6.1).
Dans beau coup de pro blèmes pra tiques, on n’a pas besoin de cette loi. C’est le cas
lorsque, pour exé cu ter un cal cul sur ordi na teur, il est néces saire de « discrétiser » la
loi conti nue qu’on vient de tirer des don nées expé ri men tales dis crètes. En revanche,
les méthodes sta tistiques sont très utiles si les don nées expé ri men tales contiennent
des points aber rants ou bien des « trous ».
Par des méthodes sta tistiques que nous ne pré ci sons pas ici, on a pu trou ver
l’expres sion conti nue sui vante pour l’exemple cité plus haut :
v(t) 5 e
2 (0, 12t)
5
,
ce qui cor res pond à une loi dite « de Weibull », de la forme v1 t 2 5 e
2 1at2 b avec les
valeurs a 5 0,12 ; b 5 5.
On a alors t 5 7,64 au lieu de la valeur expé ri men tale 7,8 et des écarts entre la
courbe idéale et la courbe pra tique (figure 6.8).
Don nons quelques com plé ments sur la loi de Weibull. Cette loi dépend de deux
para mètres posi tifs : b est le para mètre de « forme » (cf. courbes ci dessous Fig 6.7)
et a, celui de « durée de vie ».
La fia bi lité est v(t) 5 e
2 (a t)
b
.
La den sité de pro ba bi lité de défaillance est : i(t) 5 2v r(t) 5 ab # (at)
b21 # e
2 (at) b
.
Le taux d’ava rie est : l 1 t 2 5 ab # 1 at 2
b21
.
Ce taux est stric te ment crois sant pour b . 1 ; il est constant pour b 5 1 (on
retrouve alors la loi expo nen tielle : v(t) 5 e
2at
). Ce taux serait décrois sant pour
b , 1 (cas peu réa liste).
Notons que pour b 5 2, on obtient la loi de Rayleigh Maxwell pour laquelle le
taux d’ava rie croît linéai re ment avec t ; en effet, on a alors : l(t) 5 2 a
2
t. On montre
en outre que pour b 5 3,25 et a 5 1, la loi de Weibull donne une bonne approxi ma
tion de la loi nor male (gaussienne).
La « durée de vie moyenne » MTTF (Mean Time To Failure), en fait E(T), vaut :
t 5 3
`
0
i(t)dt 5
1
a G a1 1
1
b
b
où G(x) 5 3
`
0
t
x 2 1
e
2 t
dt est la fonc tion fac to rielle, qui vaut 1 x 2 12 ! pour x entier
posi tif, nom mée aussi fonc tion « gamma ».
1. Voir, plus loin, le para graphe sur la sûreté de fonc tion ne ment des sys tèmes.