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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
5.8 Cal cul des pro ba bi li tés des états en régime…
De même, la « fré quence des tran si tions vers l’inté rieur de B » est la quan tité :
w B SB 5 a
E i HB
a
E j HB
p
*
i
# l ij 5 a
(E i , E j ) Hv
2 (B)
p
*
i
# l ij .
On peut alors énon cer le théo rème des coupes :
pour tout pro ces sus de Markov, homo gène, for te ment ergodique, en régime per
manent, la fré quence des tran si tions vers l’exté rieur de toute coupe B est égale à la
fré quence des tran si tions vers l’inté rieur de B.
Soit, pour tout B ( e,
w BSB 5 w BSB .
Don nons un pre mier exemple d’appli ca tion (bureau de l’ingé nieur).
En pre nant B 5 {E 0 } et B 5 5E 1 6, il vient :
w B SB 5 w 01 5 l p
*
0 ; w B SB 5 w 10 5 m p
*
1 .
D’où : lp
*
0 5 mp
*
1 . Puisque p
*
0 1 p
*
1 5 1, on en déduit :
p
*
0 5
m
l 1 m
et p
*
1 5
l
l 1 m
.
On retrouve les valeurs obte nues au para graphe pré cé dent, en pre nant la limite de
p 0 (t) et p 1 (t) quand t tend vers l’infini : le lec teur appré ciera le gain de temps obtenu
en appli quant le théo rème des coupes.
Voici une démons tra tion du théo rème des coupes :
On a mon tré que :
p i ( t 1 ) 5 a
k
p k ( t ) # p ki ( ) .
En pre nant τ 5 Dt, et en expri mant les pro ba bi li tés de tran si tion p ki ( ) sur cet
inter valle de temps infi ni té si mal, il vient :
p i ( t 1 Dt ) 5 B a
k 2i
p k ( t ) # l ki Dt R 1 p i ( t ) ( 1 2 q i Dt ) 1 o ( Dt ) .
En régime per manent, les pro ba bi li tés des états ont atteint leur valeur limite, soit :
p i 1 t 1 Dt 2 5 p i 1 t 2 5 p
*
i . D’où :
p
*
i 5 B a
k2i
p
*
k
# l ki R Dt 1 p
*
i (1 2 q i Dt) 1 o( Dt).
En sim pli fiant dans chaque membre p
*
i , puis en divi sant par Dt que l’on fait alors
tendre vers 0, il vient :
0 5 B a
k 2i
p
*
k l ki R 2 p
*
i a
j2i
l ij , car q i 5 a
j2i
l ij .
E 0
E 1
µ
λ
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
5.8 Cal cul des pro ba bi li tés des états en régime…
De même, la « fré quence des tran si tions vers l’inté rieur de B » est la quan tité :
w B SB 5 a
E i HB
a
E j HB
p
*
i
# l ij 5 a
(E i , E j ) Hv
2 (B)
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*
i
# l ij .
On peut alors énon cer le théo rème des coupes :
pour tout pro ces sus de Markov, homo gène, for te ment ergodique, en régime per
manent, la fré quence des tran si tions vers l’exté rieur de toute coupe B est égale à la
fré quence des tran si tions vers l’inté rieur de B.
Soit, pour tout B ( e,
w BSB 5 w BSB .
Don nons un pre mier exemple d’appli ca tion (bureau de l’ingé nieur).
En pre nant B 5 {E 0 } et B 5 5E 1 6, il vient :
w B SB 5 w 01 5 l p
*
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*
1 .
D’où : lp
*
0 5 mp
*
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*
1 5 1, on en déduit :
p
*
0 5
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et p
*
1 5
l
l 1 m
.
On retrouve les valeurs obte nues au para graphe pré cé dent, en pre nant la limite de
p 0 (t) et p 1 (t) quand t tend vers l’infini : le lec teur appré ciera le gain de temps obtenu
en appli quant le théo rème des coupes.
Voici une démons tra tion du théo rème des coupes :
On a mon tré que :
p i ( t 1 ) 5 a
k
p k ( t ) # p ki ( ) .
En pre nant τ 5 Dt, et en expri mant les pro ba bi li tés de tran si tion p ki ( ) sur cet
inter valle de temps infi ni té si mal, il vient :
p i ( t 1 Dt ) 5 B a
k 2i
p k ( t ) # l ki Dt R 1 p i ( t ) ( 1 2 q i Dt ) 1 o ( Dt ) .
En régime per manent, les pro ba bi li tés des états ont atteint leur valeur limite, soit :
p i 1 t 1 Dt 2 5 p i 1 t 2 5 p
*
i . D’où :
p
*
i 5 B a
k2i
p
*
k
# l ki R Dt 1 p
*
i (1 2 q i Dt) 1 o( Dt).
En sim pli fiant dans chaque membre p
*
i , puis en divi sant par Dt que l’on fait alors
tendre vers 0, il vient :
0 5 B a
k 2i
p
*
k l ki R 2 p
*
i a
j2i
l ij , car q i 5 a
j2i
l ij .
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