5.1 Intro duc tion aux pro blèmes sto chas tiques
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
faire d’abord l’objet d’une cri tique et d’un rajus te ment conve nable avant leur pro jec
tion sur l’ave nir.
Une autre méthode consis te rait, dans bien des cas, tout en par tant de don nées
non rec ti fiées, à mettre ensuite en cause les résul tats pro vi soires de l’opti mi sation
mathéma tique, pour tenir compte des expan sions ou régres sions dues à la conjonc
ture ou aux évé ne ments par ti cu liers à l’entre prise et à son envi ron ne ment immé
diat.
Une autre carac té ris tique com mune aux cha pitres en ques tion est d’abou tir cha
cun à un com pro mis entre le coût cor res pon dant à l’utilisation de moyens humains ou
maté riels et l’espé rance mathéma tique du gain résul tant de l’usage de ces moyens,
dans des condi tions connues seule ment en pro ba bi lité.
Dans un pro blème de files d’attente
1
, par exemple, il s’agit, en géné ral, de déter
mi ner le nombre des sta tions (où les « clients » viennent chercher un « ser vice ») de
manière à ce que ces clients ne perdent qu’un temps limité. Et cela revient à minimi
ser le coût total de déploiement des sta tions et de l’attente des clients ; donc fina
le ment à éta blir un com pro mis entre le coût des ser veurs et le coût de l’attente des
clients, ces deux coûts variant évi dem ment en sens inverse. Mais le coût des ser veurs
est sim ple ment pro por tion nel à leur nombre, tan dis que celui de l’attente des clients
dépend de don nées aléa toires (l’affluence de la clien tèle et la durée du ser vice).
Dans les pro blèmes de main te nance
1
(d’entre tien) des équi pe ments, c’est l’usure
qui est aléa toire, et c’est sa connais sance sta tistique qui peut per mettre de fixer les
taux d’appro vi sion ne ment, de manière à obte nir le meilleur com pro mis entre le coût
des arrêts du sys tème (maté riel) et celui du sto ckage des équi pe ments (pièces) de
rechange.
Tous ces pro blèmes font appel à la notion com mune de pro ces sus sto chas tique. Il
sera donc néces saire de don ner ici, tout d’abord, quelques notions sur ces pro ces sus.
Nous serons aidés par le fait que presque tous, étant donné en R.O. le carac tère dis
cret (c’est àdire fini ou infini dénom brable) de leurs ensembles d’états, peuvent être
expo sés concrè te ment en uti li sant la théo rie des graphes
2
.
La pre mière idée de la théo rie des pro ces sus sto chas tiques revient sans doute à
A. Einstein qui, en 1905, sou tint sa thèse sur le mou ve ment brownien. Ensuite, A.
Markov, vers 1910, en étu diant l’œuvre de Pouchkine inti tu lée « Eu gène Onéguine »,
décri vit de manière pro ba bi liste l’alter nance des consonnes et des voyelles sous la
forme d’une “chaîne” qui porte son nom. Le Danois Erlang créa, vers 1914, la théo
rie des files d’attente (pour l’aider à résoudre des pro blèmes de dimensionnement de
stan dards télé pho niques). C’est à A. Kolmogorov, que l’on doit la for ma li sa tion géné
rale du pro ces sus sto chas tique (1933). Des mathéma ti ciens comme D.G. Kendall, P.
Lévy, A. Khintchine, W. Feller, J. Doob ont entre pris, dans l’inter valle ou par la
suite, de déve lop per encore cette théo rie.
1. Pour le voca bu laire tech nique employé ici, se repor ter aux para graphes sui vants.
2. Nous insis te rons sur l’impor tante éco no mie de pen sée que pro cure la théo rie des graphes pour
la pré sen ta tion des notions utiles sur les pro ces sus sto chas tiques et leurs appli ca tions.
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
faire d’abord l’objet d’une cri tique et d’un rajus te ment conve nable avant leur pro jec
tion sur l’ave nir.
Une autre méthode consis te rait, dans bien des cas, tout en par tant de don nées
non rec ti fiées, à mettre ensuite en cause les résul tats pro vi soires de l’opti mi sation
mathéma tique, pour tenir compte des expan sions ou régres sions dues à la conjonc
ture ou aux évé ne ments par ti cu liers à l’entre prise et à son envi ron ne ment immé
diat.
Une autre carac té ris tique com mune aux cha pitres en ques tion est d’abou tir cha
cun à un com pro mis entre le coût cor res pon dant à l’utilisation de moyens humains ou
maté riels et l’espé rance mathéma tique du gain résul tant de l’usage de ces moyens,
dans des condi tions connues seule ment en pro ba bi lité.
Dans un pro blème de files d’attente
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, par exemple, il s’agit, en géné ral, de déter
mi ner le nombre des sta tions (où les « clients » viennent chercher un « ser vice ») de
manière à ce que ces clients ne perdent qu’un temps limité. Et cela revient à minimi
ser le coût total de déploiement des sta tions et de l’attente des clients ; donc fina
le ment à éta blir un com pro mis entre le coût des ser veurs et le coût de l’attente des
clients, ces deux coûts variant évi dem ment en sens inverse. Mais le coût des ser veurs
est sim ple ment pro por tion nel à leur nombre, tan dis que celui de l’attente des clients
dépend de don nées aléa toires (l’affluence de la clien tèle et la durée du ser vice).
Dans les pro blèmes de main te nance
1
(d’entre tien) des équi pe ments, c’est l’usure
qui est aléa toire, et c’est sa connais sance sta tistique qui peut per mettre de fixer les
taux d’appro vi sion ne ment, de manière à obte nir le meilleur com pro mis entre le coût
des arrêts du sys tème (maté riel) et celui du sto ckage des équi pe ments (pièces) de
rechange.
Tous ces pro blèmes font appel à la notion com mune de pro ces sus sto chas tique. Il
sera donc néces saire de don ner ici, tout d’abord, quelques notions sur ces pro ces sus.
Nous serons aidés par le fait que presque tous, étant donné en R.O. le carac tère dis
cret (c’est àdire fini ou infini dénom brable) de leurs ensembles d’états, peuvent être
expo sés concrè te ment en uti li sant la théo rie des graphes
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La pre mière idée de la théo rie des pro ces sus sto chas tiques revient sans doute à
A. Einstein qui, en 1905, sou tint sa thèse sur le mou ve ment brownien. Ensuite, A.
Markov, vers 1910, en étu diant l’œuvre de Pouchkine inti tu lée « Eu gène Onéguine »,
décri vit de manière pro ba bi liste l’alter nance des consonnes et des voyelles sous la
forme d’une “chaîne” qui porte son nom. Le Danois Erlang créa, vers 1914, la théo
rie des files d’attente (pour l’aider à résoudre des pro blèmes de dimensionnement de
stan dards télé pho niques). C’est à A. Kolmogorov, que l’on doit la for ma li sa tion géné
rale du pro ces sus sto chas tique (1933). Des mathéma ti ciens comme D.G. Kendall, P.
Lévy, A. Khintchine, W. Feller, J. Doob ont entre pris, dans l’inter valle ou par la
suite, de déve lop per encore cette théo rie.
1. Pour le voca bu laire tech nique employé ici, se repor ter aux para graphes sui vants.
2. Nous insis te rons sur l’impor tante éco no mie de pen sée que pro cure la théo rie des graphes pour
la pré sen ta tion des notions utiles sur les pro ces sus sto chas tiques et leurs appli ca tions.