SOLUTIONS
27
Solutions
On aa lors : ϕ(s
◦ s1) = ϕ(s1 ◦ s), d’où ϕ(s
)ϕ(s1) = ϕ(s1)ϕ(s), et
comme ϕ(s1) = 0, ϕ(s
) = ϕ(s).
3)Ile nr ésulte que toutes les réflexions ont la même image par
ϕ,q ui est 1o u− 1. Comme les réflexions engendrent le groupe
O(E):
• Si toutes les réflexions ont pour image 1, toutautomorphisme
apour image1;ϕest l’application constante 1.
• Si toutes les réflexionso nt pour image −1, tout automorphisme f apour image(−1)
n ,oùnest le nombre de réflexions
composant f ; ϕ(f )est alors le déterminant de f .
Il n’y adonc que deux morphismes de groupes de O(E)dans R
∗ :
le morphisme constant f → 1, et le déterminant.
8 Soit X ∈ Ker(M+I):MX = −X .Onaalors :
t
(MX )(MX ) =
t
XX =
t
X
t
MMX
= −
t
XM
2 X =
t
XMX = −
t
XX
d’où
t
XX = 0, et X = 0:Ker (M +I) = {0}; M +I est inversible.
t
AA =
t
(M +I)
− 1 t
(M −I)(M − I)(M +I)
− 1
=(M −I)
−1 (M +I)(M − I)(M +I)
− 1
Comme (M +I)(M − I) = M
2 − I = (M − I)(M +I), on obtient
t
AA = I:Aest orthogonale.
9 Notons (C1, C2, C3)l es trois vecteurs colonne de A et
t
X = (x1, x2, x3), alors:
AX = B ⇐⇒ x 1 C 1 + x 2 C 2 + x 3 C 3 = B
L’existence de solutions équivaut donc au fait que B appartienne
àVect(C1, C2, C3).
Or, C1 + C2 − 2C3 = 0, d’où Vect(C1, C2, C3) = Vect(C1, C2);
et det(C1, C2, C3)
= 0, d’où : B /
∈ Vect(C1, C2). L’équation
n’admetpas de solution.
{AX , X ∈ R
3 } est le plan P = Vect(C1, C2), nous savons
qu’alors il existe un unique vecteur B
de ce plan tel que B
− B
soit minimale, B
est le projeté orthogonal de B sur P.
En revanche, ceci n’assure pas l’unicité de la solution X0 recherchée,eneffet si X0 est une solution, pour tout Y appartenant àla
droite d’équation AY = 0, Xo + Y est encore solution.
Chapitre 27
1 a) Vrai. b) Vrai. c) Faux ;ç ap eut être un vissage.
d) Vrai. e) Faux ;çapeut être une translation.
2 a) Rotation de centre Ω(4, 3) et d’angle Arccos
3
5
.
b) Il s’agit d’unantidéplacement sans point invariant :composée
d’une réflexion et d’une translation.L ad irection de l’axe de la
réflexion est
−
→
D = Vect(1, −1). L’ensemble des points M telsque
−−→
MM
∈
−
→
D estladroite D d’équation 2x +2y−3=0. f est la
composée de la réflexiond’axe D et de la translation de vecteur
−
1
2
,
1
2
.
c) Rotation de centre Ω(2, 4) et d’angle
π
6
.
d) C’estu na ntidéplacement avec points invariants :c ’est une
réflexion;son axe apour équation
√ 2
2
x −
√ 2
2
+1
y−1=0.
3 (
−→
AB,
−→
AC )+(
−→
BC,
−→
BA)+(
−→
CA,
−→
CB) = π.
RA ◦ RB ◦ RC est donc une rotation d’angle π,c ’est-à-dire une
symétrie centrale, dontilreste àdéterminer le centre.
Étudierles images des points de contact du cercle inscrit dans le
triangle ABC avec les côtés de ce triangle.
4 Soit G un sous-groupe finid ug roupe des déplacements
du plan. G ne peut contenir d’autre translation que l’identité. En
déduire quedeux rotations quelconques de G ont nécessairement
le même centre.
5 a) Il s’agit d’une rotation, d’axe A+Vect( u)oùA = (1, 1, 0)
et u = (1, 1, 1), d’angle +
π
3
en orientant l’axe dans le sens du vecteur u.
b) Réflexion parrapport au plan d’équation x − y + z − 3 = 0.
c) C’est un déplacement sans point invariant, autre qu’une translation :c ’est un vissage. L’ensemble des vecteurs invariants est
−
→
D = Vect(1, 1, 1).L’axe du vissage est l’ensemble des points M
telsque
−−→
MM
∈
−
→
D ,c’est-à-dire A+Vect( u), où A = (−
7
3
, −
8
3
, 0)
et u = (1, 1, 1). Le vecteur du vissage est v =
2
3
u et son angle
−
2π
3
,l’axe étant naturellement orienté dans le sens du vecteur v.
d) C’est un antidéplacement avec un point invariant unique :
A(1, 0, 2) ;c’est la composée d’une réflexion par rapport àunplan
P passantpar A et d’unerotation dont l’axe estlaperpendiculaire
en A à P.Ladirection de cet axe est l’ensemble des vecteurs changés en leur opposé,c’est-à-dire Vect( u)où u=(1, 1, 1). L’axe est
donc la droite A + u,l ep lan P ap our équation x + y + z = 3.
Enfin l’angle de la rotation est +
π
3
en orientant l’axe dans le sens
du vecteur u.
6 1) Si la rotation n’est pasu nd emi-tour, la seule droite
globalement invariante est sona xe. Pour un demi-tour, il yad e
plus les droites perpendiculaires àl’axe.
2) Soit R et R
deux rotations distinctes de l’identité, d’axes respectifs D et D
,qui commutent. Pour tout point M de l’espace :
R ◦ R
(M ) = R
◦ R (M )
Si M ∈ D, R ◦ R
(M ) = R
(M ), donc R
(M ) ∈ D :ladroite D
estglobalement invariante par R
;onmontredemême que D
est
globalement invariantepar R.
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Solutions
On aa lors : ϕ(s
◦ s1) = ϕ(s1 ◦ s), d’où ϕ(s
)ϕ(s1) = ϕ(s1)ϕ(s), et
comme ϕ(s1) = 0, ϕ(s
) = ϕ(s).
3)Ile nr ésulte que toutes les réflexions ont la même image par
ϕ,q ui est 1o u− 1. Comme les réflexions engendrent le groupe
O(E):
• Si toutes les réflexions ont pour image 1, toutautomorphisme
apour image1;ϕest l’application constante 1.
• Si toutes les réflexionso nt pour image −1, tout automorphisme f apour image(−1)
n ,oùnest le nombre de réflexions
composant f ; ϕ(f )est alors le déterminant de f .
Il n’y adonc que deux morphismes de groupes de O(E)dans R
∗ :
le morphisme constant f → 1, et le déterminant.
8 Soit X ∈ Ker(M+I):MX = −X .Onaalors :
t
(MX )(MX ) =
t
XX =
t
X
t
MMX
= −
t
XM
2 X =
t
XMX = −
t
XX
d’où
t
XX = 0, et X = 0:Ker (M +I) = {0}; M +I est inversible.
t
AA =
t
(M +I)
− 1 t
(M −I)(M − I)(M +I)
− 1
=(M −I)
−1 (M +I)(M − I)(M +I)
− 1
Comme (M +I)(M − I) = M
2 − I = (M − I)(M +I), on obtient
t
AA = I:Aest orthogonale.
9 Notons (C1, C2, C3)l es trois vecteurs colonne de A et
t
X = (x1, x2, x3), alors:
AX = B ⇐⇒ x 1 C 1 + x 2 C 2 + x 3 C 3 = B
L’existence de solutions équivaut donc au fait que B appartienne
àVect(C1, C2, C3).
Or, C1 + C2 − 2C3 = 0, d’où Vect(C1, C2, C3) = Vect(C1, C2);
et det(C1, C2, C3)
= 0, d’où : B /
∈ Vect(C1, C2). L’équation
n’admetpas de solution.
{AX , X ∈ R
3 } est le plan P = Vect(C1, C2), nous savons
qu’alors il existe un unique vecteur B
de ce plan tel que B
− B
soit minimale, B
est le projeté orthogonal de B sur P.
En revanche, ceci n’assure pas l’unicité de la solution X0 recherchée,eneffet si X0 est une solution, pour tout Y appartenant àla
droite d’équation AY = 0, Xo + Y est encore solution.
Chapitre 27
1 a) Vrai. b) Vrai. c) Faux ;ç ap eut être un vissage.
d) Vrai. e) Faux ;çapeut être une translation.
2 a) Rotation de centre Ω(4, 3) et d’angle Arccos
3
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.
b) Il s’agit d’unantidéplacement sans point invariant :composée
d’une réflexion et d’une translation.L ad irection de l’axe de la
réflexion est
−
→
D = Vect(1, −1). L’ensemble des points M telsque
−−→
MM
∈
−
→
D estladroite D d’équation 2x +2y−3=0. f est la
composée de la réflexiond’axe D et de la translation de vecteur
−
1
2
,
1
2
.
c) Rotation de centre Ω(2, 4) et d’angle
π
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.
d) C’estu na ntidéplacement avec points invariants :c ’est une
réflexion;son axe apour équation
√ 2
2
x −
√ 2
2
+1
y−1=0.
3 (
−→
AB,
−→
AC )+(
−→
BC,
−→
BA)+(
−→
CA,
−→
CB) = π.
RA ◦ RB ◦ RC est donc une rotation d’angle π,c ’est-à-dire une
symétrie centrale, dontilreste àdéterminer le centre.
Étudierles images des points de contact du cercle inscrit dans le
triangle ABC avec les côtés de ce triangle.
4 Soit G un sous-groupe finid ug roupe des déplacements
du plan. G ne peut contenir d’autre translation que l’identité. En
déduire quedeux rotations quelconques de G ont nécessairement
le même centre.
5 a) Il s’agit d’une rotation, d’axe A+Vect( u)oùA = (1, 1, 0)
et u = (1, 1, 1), d’angle +
π
3
en orientant l’axe dans le sens du vecteur u.
b) Réflexion parrapport au plan d’équation x − y + z − 3 = 0.
c) C’est un déplacement sans point invariant, autre qu’une translation :c ’est un vissage. L’ensemble des vecteurs invariants est
−
→
D = Vect(1, 1, 1).L’axe du vissage est l’ensemble des points M
telsque
−−→
MM
∈
−
→
D ,c’est-à-dire A+Vect( u), où A = (−
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, −
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3
, 0)
et u = (1, 1, 1). Le vecteur du vissage est v =
2
3
u et son angle
−
2π
3
,l’axe étant naturellement orienté dans le sens du vecteur v.
d) C’est un antidéplacement avec un point invariant unique :
A(1, 0, 2) ;c’est la composée d’une réflexion par rapport àunplan
P passantpar A et d’unerotation dont l’axe estlaperpendiculaire
en A à P.Ladirection de cet axe est l’ensemble des vecteurs changés en leur opposé,c’est-à-dire Vect( u)où u=(1, 1, 1). L’axe est
donc la droite A + u,l ep lan P ap our équation x + y + z = 3.
Enfin l’angle de la rotation est +
π
3
en orientant l’axe dans le sens
du vecteur u.
6 1) Si la rotation n’est pasu nd emi-tour, la seule droite
globalement invariante est sona xe. Pour un demi-tour, il yad e
plus les droites perpendiculaires àl’axe.
2) Soit R et R
deux rotations distinctes de l’identité, d’axes respectifs D et D
,qui commutent. Pour tout point M de l’espace :
R ◦ R
(M ) = R
◦ R (M )
Si M ∈ D, R ◦ R
(M ) = R
(M ), donc R
(M ) ∈ D :ladroite D
estglobalement invariante par R
;onmontredemême que D
est
globalement invariantepar R.
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