Solutions
SOLUTIONS
23
d) On pose α = abc + ab + ac + bc. D estinversible si et seulement
si α = 0et:
D
− 1 =
1
α
⎛
⎝
b+c+bc
−c
−b
−cc + a + ca
−a
−b
−aa + b + ab
⎞
⎠
5 a) Le système ades solutions si et seulement si λ = 9. Dans
ce cas, l’ensemble des solutions est :
(x, y, z) =
16
7
−
5
7
z,
1
7
+
8
7
z, z
.
b) (x, y, z, t) =
1, −
1
2
,
1
2
, 1
.
c) (x, y, z, t) =
−
1
5
+
1
5
z +
1
5
t, −
3
5
+
3
5
z −
7
5
t, z, t
.
d) (x, y, z) = (4, 3, 2).
6 Le système équivaut à:
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x + y
+ z
+ t=1
(b−a)y +( c − a ) z
+( d − a ) t = 1 − a
( c − a )(c − b)z +( d − a )(d − b)t = (1 − a)(1 − b)
(d − a)(d − b)(d − c)t = (1 − a)(1 − b)(1 − c)
Si les quatre valeurs a, b, c et d sont distinctes deux àd eux, le
système estdeCramer et admet pour unique solution :
x =
(1 − a)(1 − c)(1 − d )
(a − b)(a − c)(a − d )
,
y =
(1 − a)(1 − c)(1 − d )
(b − a)(b − c)(b − d )
z =
(1 − a)(1 − b)(1 − d )
(c − a)(c − b)(c − d )
,
t =
(1 − a)(1 − b)(1 − c)
(d − a)(d − b)(d − c)
Si lesquatre valeurs ne sont pas distinctes, l’une au moins doit être
égale à1pour quelesystème ait des solutions. On peutdistinguer
six cas(aux permutations près des lettres a, b, c, d) :
1) c = d = 1e tC ard( a ,b ,1) = 3. Le système équivaut à:
x=y=0; z+t=1.
2) c = d = 1, a = 1etCard(b,c,1) = 3: x=1; y=0;
z+t=0.
3) c = d = 1eta=b =1:
x+y=0; z+t=1.
4) b = c = d = 1eta =1:
x=0; y+z+t=1.
5) b = c = d = 1eta=1:
x=1; y+z+t=0.
6) a = b = c = d = 1:
x+y+z+t=1 .
7 Si a
∈ {0, 1, −1, i, −i}, le systèmeest de Cramer et admet
pour unique solution :( x , y , z )=
a , 1 ,
1
a
.
Si a = 0, le systèmeest incompatible.
Si a = 1, (x, y, z) = (1, z, z).
Si a = −1, (x, y, z) = (−1, −z, z).
Si a = i, (x, y, z) = (iy, y, −i).
Si a = −i, (x, y, z) = (−iy, y, i).
8 Les solutions de ces deux systèmes voisins sont bien éloignées:
a) (10, −20, 30). b) (−66, 69, −11).
9 Ker f est l’ensemble des éléments (x, y, z, t) ∈ R
4 solutions
du système:
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
y+z+t =0
x+z−t =0
x+y+2z =0
−x+y+2t =0
Par la méthode du pivot, ce système équivaut à:
x=−z+t
y=−z−t
Soit :(x,y,z,t)=z(−1,−1,1,0) + t(1, −1, 0, 1), quel que soit
(z, t) ∈ R
2 . On en déduit que :
Ker f = Vect
(−1, −1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)
D’aprèslethéorème du rang,
dim Im f = dim R
4 − dim Ker f = 2.
Les deux premiers vecteurscolonnesdelamatrice A étant linéairement indépendants,ils forment une base de Im f :
Im f = Vect
(0, 1, 1, −1), (1, 0, 1, 1)
10 1)dim Im f = 3e td ’après le théorème du rang,
dim Ker f = 1. Si f
2 = 0, Im f ⊂ Ker f ,c eq ui est impossible du faitdes dimensions.
Il existe donc un vecteur x tel que f
2 (x) = 0. La famille
(x, f (x), f
2 (x)) est libre, on peut la complèter en une base
(x, f (x), f
2 (x), y). La matricedef dans cette base est de la forme :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
000a
100b
010 c
000d
⎞
⎟
⎟
⎠
La matrice représentant f
3 est :
A
3 =
⎛
⎜
⎜
⎝
000
ad
2
000
( a + bd )d
000a +(b+cd )d
000
d
3
⎞
⎟
⎟
⎠
Si f
3 = 0, A
3 = 0, d’où a = d = 0. La matrice A est alors de
rang 2, contrairementàl’hypothèse. Donc f
3
= 0.
2)Ces inclusions sont immédiates.
Supposons Ker f = Ker f
2 .C omme pour tout x ∈ E,
f
2 (x) ∈ Ker f
2 ,o ne nd éduirait f
2 (x) ∈ Ker f ,c ’est-à-dire
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
581
SOLUTIONS
23
d) On pose α = abc + ab + ac + bc. D estinversible si et seulement
si α = 0et:
D
− 1 =
1
α
⎛
⎝
b+c+bc
−c
−b
−cc + a + ca
−a
−b
−aa + b + ab
⎞
⎠
5 a) Le système ades solutions si et seulement si λ = 9. Dans
ce cas, l’ensemble des solutions est :
(x, y, z) =
16
7
−
5
7
z,
1
7
+
8
7
z, z
.
b) (x, y, z, t) =
1, −
1
2
,
1
2
, 1
.
c) (x, y, z, t) =
−
1
5
+
1
5
z +
1
5
t, −
3
5
+
3
5
z −
7
5
t, z, t
.
d) (x, y, z) = (4, 3, 2).
6 Le système équivaut à:
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x + y
+ z
+ t=1
(b−a)y +( c − a ) z
+( d − a ) t = 1 − a
( c − a )(c − b)z +( d − a )(d − b)t = (1 − a)(1 − b)
(d − a)(d − b)(d − c)t = (1 − a)(1 − b)(1 − c)
Si les quatre valeurs a, b, c et d sont distinctes deux àd eux, le
système estdeCramer et admet pour unique solution :
x =
(1 − a)(1 − c)(1 − d )
(a − b)(a − c)(a − d )
,
y =
(1 − a)(1 − c)(1 − d )
(b − a)(b − c)(b − d )
z =
(1 − a)(1 − b)(1 − d )
(c − a)(c − b)(c − d )
,
t =
(1 − a)(1 − b)(1 − c)
(d − a)(d − b)(d − c)
Si lesquatre valeurs ne sont pas distinctes, l’une au moins doit être
égale à1pour quelesystème ait des solutions. On peutdistinguer
six cas(aux permutations près des lettres a, b, c, d) :
1) c = d = 1e tC ard( a ,b ,1) = 3. Le système équivaut à:
x=y=0; z+t=1.
2) c = d = 1, a = 1etCard(b,c,1) = 3: x=1; y=0;
z+t=0.
3) c = d = 1eta=b =1:
x+y=0; z+t=1.
4) b = c = d = 1eta =1:
x=0; y+z+t=1.
5) b = c = d = 1eta=1:
x=1; y+z+t=0.
6) a = b = c = d = 1:
x+y+z+t=1 .
7 Si a
∈ {0, 1, −1, i, −i}, le systèmeest de Cramer et admet
pour unique solution :( x , y , z )=
a , 1 ,
1
a
.
Si a = 0, le systèmeest incompatible.
Si a = 1, (x, y, z) = (1, z, z).
Si a = −1, (x, y, z) = (−1, −z, z).
Si a = i, (x, y, z) = (iy, y, −i).
Si a = −i, (x, y, z) = (−iy, y, i).
8 Les solutions de ces deux systèmes voisins sont bien éloignées:
a) (10, −20, 30). b) (−66, 69, −11).
9 Ker f est l’ensemble des éléments (x, y, z, t) ∈ R
4 solutions
du système:
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
y+z+t =0
x+z−t =0
x+y+2z =0
−x+y+2t =0
Par la méthode du pivot, ce système équivaut à:
x=−z+t
y=−z−t
Soit :(x,y,z,t)=z(−1,−1,1,0) + t(1, −1, 0, 1), quel que soit
(z, t) ∈ R
2 . On en déduit que :
Ker f = Vect
(−1, −1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)
D’aprèslethéorème du rang,
dim Im f = dim R
4 − dim Ker f = 2.
Les deux premiers vecteurscolonnesdelamatrice A étant linéairement indépendants,ils forment une base de Im f :
Im f = Vect
(0, 1, 1, −1), (1, 0, 1, 1)
10 1)dim Im f = 3e td ’après le théorème du rang,
dim Ker f = 1. Si f
2 = 0, Im f ⊂ Ker f ,c eq ui est impossible du faitdes dimensions.
Il existe donc un vecteur x tel que f
2 (x) = 0. La famille
(x, f (x), f
2 (x)) est libre, on peut la complèter en une base
(x, f (x), f
2 (x), y). La matricedef dans cette base est de la forme :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
000a
100b
010 c
000d
⎞
⎟
⎟
⎠
La matrice représentant f
3 est :
A
3 =
⎛
⎜
⎜
⎝
000
ad
2
000
( a + bd )d
000a +(b+cd )d
000
d
3
⎞
⎟
⎟
⎠
Si f
3 = 0, A
3 = 0, d’où a = d = 0. La matrice A est alors de
rang 2, contrairementàl’hypothèse. Donc f
3
= 0.
2)Ces inclusions sont immédiates.
Supposons Ker f = Ker f
2 .C omme pour tout x ∈ E,
f
2 (x) ∈ Ker f
2 ,o ne nd éduirait f
2 (x) ∈ Ker f ,c ’est-à-dire
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
581