SOLUTIONS
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Solutions
6 a) base de Ker f :( 1 ,1) base de Im f :( 1 ,− 1 ,0) ;
b) base de Ker f :(1,1,1) ;base de Im f :((1, 0, −1), (0, 1, −1)) ;
c) base de Ker f :( 1−i);base de Im f :( 1+i);d) base de
Ker f :(X +1);base de Im f :(1,X
2 +2X, 2X
3 +3X
2 ).
7 Il faut que e3 ne soit pas combinaison linéaire de (e1, e2)et
que e 4 ne soitpas combinaison linéaire de (e1, e2, e3). Par exemple :
((1,1,1,1) , (1, 1, −1, −1) , (1, 0, 0, 0) , (0, 0, 0, 1) )
est une base de R
4 .
8 a) 2:x3=x1+x2,x 4 =−x1+x2.b) 4.
c) 3:2x1+x2−x 4 =0.
9 Une condition nécessaire estd onnée parl et héorème du
rang :
dim F +dim G = n. On montre que cette condition estsuffisante :
soit F et G deux s.e.v. de E de dimensions respectives r et p avec
r + p = n. Soit (f1, ··· ,fr)une base de F et (e1, ··· ,ep)une base
de G. On peutcompléter cette dernière en une base (e1, ··· ,en)
de E. L’endomorphisme u défini par: ∀i∈[[ 1 , p ]] u ( e i ) = 0e t
∀ i∈[[ p +1,n]] u ( e i ) = f i − p convient.
10 S’il existe u ∈L ( E)tel que Ker u = Im u, le théorème du
rang donnedim E = 2dim Ker u, qui estdonc pair.
Réciproquement, si
dim E = 2p,
soit (e1, ··· ,ep,ep+1, ··· ,e2p)u ne base de E. L’endomorphisme
u défini par: ∀i∈[[ 1 , p ]] u ( e i ) = 0e t∀ i∈[[ p +1,2p]]
u ( e i ) = e i − p convient.
11 Utiliser l’inclusion Im (f +g) ⊂ Im f +Im g pour montrer
que :r g(f +g)rg f +rgg.
Puis appliquer ce résultat à:
f =(f +g)−g et g = (f + g) − f
12 Comme f
p 0 −1
= 0, il existe x ∈ E tel que f
p 0 −1 (x) = 0.
Soit (α0, ··· ,αp 0 −1)∈K
p 0
tel que
p 0 −1
i=0
αi f
i (x) = 0.
Calculer l’image de cette somme par f
k successivement pour
k = p0 − 1, k = p0 − 2, etc. jusqu’à k = 1etconclure.
On aobtenu une famille libre à p0 éléments : p0 n.
Pourtout k p0, f
k = 0;en particulier f
n = 0.
13 1) On montre facilement que Ker f ∩ Im g = {0} et
Ker g ∩ Im f = {0}. On aalors :
dimKer f +dim Im g dim E (1)
dim Ker g +dim Im f dim F (2)
Ajouterm embre àm embre et utiliser le théorème du rang pour
montrer que(1) et (2)sont des égalités.
2) La question précédente prouve également que:
dim Im f = dim Im g
Par ailleurs, fgf =f prouve que Im fg=Im f
et gf g =g prouve que Im gf =Im g.
14 1) Appliquer le théorème du rang àl ar estriction de g à
Im f .
2) On en déduit rg gf rg f .P ar ailleurs, Im gf ⊂ Im g,d ’où
rg gf rg g,cequi donne la seconde inégalité.
Pour la première, utiliser l’inclusion
Im f ∩ Ker g ⊂ Ker g
dans l’égalité de la question 1).
3) D’après la première question :
rg (hgf ) = rg (gf ) − dim (Im(gf ) ∩ Ker h)
rg (hg) = rg g − dim(Im g ∩ Ker h)
Comparer ces deux expressions en remarquant que
Im (gf ) ⊂ Im g.
15 Soit (p1, p2,...,pn)une famille finie de nombres premiers
distinctsdeux àdeux, et (α1, α2,...,αn)u ne famille de nombres
rationnels tels que : α1 ln p1 + α2 ln p2 + ··· + αnln pn = 0, soit
aprèsréduction au même dénominateur : a1 ln p1 + a2 ln p2 + ···+
anln pn = 0, avec a1,...,an entiers relatifs. On adonc :
p
a 1
1 p
a 2
2 ...p
an
n = 1
ce qui, d’après l’unicité de la décomposition en facteurspremiers,
implique : a1 = ··· = an = 0.
La famille (ln p1, ln p2,...,ln pn)est donc Q-libre.
16 1)Soit y ∈ Im f : ∃x ∈ Ey=f( x ), alors :
(f + IdE )(y) = f
2 (x)+f(x)=0:y ∈ Ker (f + IdE ).
Réciproquement :
soit y ∈ Ker (f + IdE ):f(y)=−y,cequi prouveque y ∈ Im f .
L’égalité :Ker (f + IdE ) = Im f est bien établie.
2)Utilisons le résultat de la première question.
Soit y ∈ Ker (f + IdE ) ∩ Im (f + IdE ):∃x∈Ey=f( x )+xet
f (y)+y=0, alors : y = −f (y) ⇐⇒ y = − ( f
2 ( x )+f(x)) = 0.
Ce qui établit :Ker (f + IdE ) ∩ Im (f + IdE ) = {0}.
Le théorème du rang, appliqué àl’endomorphisme f + IdE ,permet
d’affirmer :dim(Ker (f + IdE )) +dim(Im (f + IdE )) = dim(E).
D’où, si E est de dimension finie,
E = Im f ⊕ Im (f + IdE )
17 1)Vérifiez que
Rn[X ] →
fα
R
P
→ P(α)
est une forme linéaire.
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6 a) base de Ker f :( 1 ,1) base de Im f :( 1 ,− 1 ,0) ;
b) base de Ker f :(1,1,1) ;base de Im f :((1, 0, −1), (0, 1, −1)) ;
c) base de Ker f :( 1−i);base de Im f :( 1+i);d) base de
Ker f :(X +1);base de Im f :(1,X
2 +2X, 2X
3 +3X
2 ).
7 Il faut que e3 ne soit pas combinaison linéaire de (e1, e2)et
que e 4 ne soitpas combinaison linéaire de (e1, e2, e3). Par exemple :
((1,1,1,1) , (1, 1, −1, −1) , (1, 0, 0, 0) , (0, 0, 0, 1) )
est une base de R
4 .
8 a) 2:x3=x1+x2,x 4 =−x1+x2.b) 4.
c) 3:2x1+x2−x 4 =0.
9 Une condition nécessaire estd onnée parl et héorème du
rang :
dim F +dim G = n. On montre que cette condition estsuffisante :
soit F et G deux s.e.v. de E de dimensions respectives r et p avec
r + p = n. Soit (f1, ··· ,fr)une base de F et (e1, ··· ,ep)une base
de G. On peutcompléter cette dernière en une base (e1, ··· ,en)
de E. L’endomorphisme u défini par: ∀i∈[[ 1 , p ]] u ( e i ) = 0e t
∀ i∈[[ p +1,n]] u ( e i ) = f i − p convient.
10 S’il existe u ∈L ( E)tel que Ker u = Im u, le théorème du
rang donnedim E = 2dim Ker u, qui estdonc pair.
Réciproquement, si
dim E = 2p,
soit (e1, ··· ,ep,ep+1, ··· ,e2p)u ne base de E. L’endomorphisme
u défini par: ∀i∈[[ 1 , p ]] u ( e i ) = 0e t∀ i∈[[ p +1,2p]]
u ( e i ) = e i − p convient.
11 Utiliser l’inclusion Im (f +g) ⊂ Im f +Im g pour montrer
que :r g(f +g)rg f +rgg.
Puis appliquer ce résultat à:
f =(f +g)−g et g = (f + g) − f
12 Comme f
p 0 −1
= 0, il existe x ∈ E tel que f
p 0 −1 (x) = 0.
Soit (α0, ··· ,αp 0 −1)∈K
p 0
tel que
p 0 −1
i=0
αi f
i (x) = 0.
Calculer l’image de cette somme par f
k successivement pour
k = p0 − 1, k = p0 − 2, etc. jusqu’à k = 1etconclure.
On aobtenu une famille libre à p0 éléments : p0 n.
Pourtout k p0, f
k = 0;en particulier f
n = 0.
13 1) On montre facilement que Ker f ∩ Im g = {0} et
Ker g ∩ Im f = {0}. On aalors :
dimKer f +dim Im g dim E (1)
dim Ker g +dim Im f dim F (2)
Ajouterm embre àm embre et utiliser le théorème du rang pour
montrer que(1) et (2)sont des égalités.
2) La question précédente prouve également que:
dim Im f = dim Im g
Par ailleurs, fgf =f prouve que Im fg=Im f
et gf g =g prouve que Im gf =Im g.
14 1) Appliquer le théorème du rang àl ar estriction de g à
Im f .
2) On en déduit rg gf rg f .P ar ailleurs, Im gf ⊂ Im g,d ’où
rg gf rg g,cequi donne la seconde inégalité.
Pour la première, utiliser l’inclusion
Im f ∩ Ker g ⊂ Ker g
dans l’égalité de la question 1).
3) D’après la première question :
rg (hgf ) = rg (gf ) − dim (Im(gf ) ∩ Ker h)
rg (hg) = rg g − dim(Im g ∩ Ker h)
Comparer ces deux expressions en remarquant que
Im (gf ) ⊂ Im g.
15 Soit (p1, p2,...,pn)une famille finie de nombres premiers
distinctsdeux àdeux, et (α1, α2,...,αn)u ne famille de nombres
rationnels tels que : α1 ln p1 + α2 ln p2 + ··· + αnln pn = 0, soit
aprèsréduction au même dénominateur : a1 ln p1 + a2 ln p2 + ···+
anln pn = 0, avec a1,...,an entiers relatifs. On adonc :
p
a 1
1 p
a 2
2 ...p
an
n = 1
ce qui, d’après l’unicité de la décomposition en facteurspremiers,
implique : a1 = ··· = an = 0.
La famille (ln p1, ln p2,...,ln pn)est donc Q-libre.
16 1)Soit y ∈ Im f : ∃x ∈ Ey=f( x ), alors :
(f + IdE )(y) = f
2 (x)+f(x)=0:y ∈ Ker (f + IdE ).
Réciproquement :
soit y ∈ Ker (f + IdE ):f(y)=−y,cequi prouveque y ∈ Im f .
L’égalité :Ker (f + IdE ) = Im f est bien établie.
2)Utilisons le résultat de la première question.
Soit y ∈ Ker (f + IdE ) ∩ Im (f + IdE ):∃x∈Ey=f( x )+xet
f (y)+y=0, alors : y = −f (y) ⇐⇒ y = − ( f
2 ( x )+f(x)) = 0.
Ce qui établit :Ker (f + IdE ) ∩ Im (f + IdE ) = {0}.
Le théorème du rang, appliqué àl’endomorphisme f + IdE ,permet
d’affirmer :dim(Ker (f + IdE )) +dim(Im (f + IdE )) = dim(E).
D’où, si E est de dimension finie,
E = Im f ⊕ Im (f + IdE )
17 1)Vérifiez que
Rn[X ] →
fα
R
P
→ P(α)
est une forme linéaire.
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