Solutions
SOLUTIONS
17
3) On applique l’inégalité précédente à
(x1, x2, x3) = (a
3 , b
3 , c
3 )
puisà(x1,x2,x3)=(a,b,c).Les inégalités obtenues ne sont pas
triviales :e ssayez de les retrouver pard es moyens élémentaires
(factorisation, parexemple), vous n’en apprécierez quemieux les
fonctions convexes.
La dernière inégalité s’obtient avec
∀i ∈ [[ 1 , n ]] x i = i
15 1) Vérifier que (f )
= (f
).
2) |f | =
f f . Cette fonction est dérivable en tout point où le
contenu de la racine carrée ne s’annule pas et
(|f |)
=
Re (f f
)
|f |
.
16 Pour n ∈ N, écrire :
(at + b)
n − (at0 + b)
n = a(t − t0)
n−1
k=0
(at + b)
k (at + b)
n−1−k
et conclure.
Pour lesp uissances négatives, remarquer que, si n = −m avec
m ∈ N
∗ :
(at + b)
n − (at0 + b)
n =
1
(at + b) n −
1
(at0 + b) m
= −
(at + b)
m − (at0 + b)
m
(at + b) m (at0 + b) m
Dans tous lescas, on obtient f
(t) = na(at + b)
n−1 .
17 ∀t ∈ R
∗
f (t) = t
2 cos
1
t
+ it
2 sin
1
t
.
lim
t→0
f (t)
t
= 0, donc f est dérivable en 0etf
(0) = 0.
∀t ∈ R
∗
f
(t) =
2t cos
1
t
+sin
1
t
+ i
2t sin
1
t
− cos
1
t
;
f
n’a pas de limite en 0:elle n’est pascontinue en 0.
Chapitre 17
1 a) Faux, il faut qu’il n’y ait qu’un nombre fini d’intervalles,f aute de quoi n’importe quelle fonction serait en escalier
(constante sur tout singleton {x} !). b) Faux,elle doit avoir en ces
points une limite àdroite et une limite àgauche. c) Vrai. d) Faux,
ex : f (x) =
1
2E(
1
2x
)+1
sur ]0, 1],prolongée en 0par f (0) = 0.
e) Vrai. f) Faux, ex :fonction en escalier non constante. g) Faux,
voir exercice 6. h) Vrai.
2 Exemple : f (0) = 0e t ∀ n ∈ N f( x ) =
1
2 n sur
1
2 n+1 ,
1
2 n
.
f possède une infinité de points de discontinuité.
3 f estbornée sur[0,1] , soit M = sup
x∈[0,1]
|f (x)|.
|f (t)| M ⇒| g ( x ) |Mx ⇒| f ( x ) |M
x
2
2
M
2
En déduire que M = 0...
4 Supposons d’abord x > 0;
∀t ∈[x,2x]c os 2x cos t 1
D’où cos2x
2x
x
dt
t
2x
x
cos t
t
dt
2x
x
dt
t
Nousendéduirons la limite àdroite en 0, puis de même la limite
àgauche (ln 2).
5 1) La fonction ln étant concave, sa courbe représentative
sur l’intervalle[1,x
2 ]est comprise entre la corde et la tangente au
point d’abscisse 1:
∀t ∈[1, x
2 ]
2lnx
x 2 −1
(t −1) ln t t − 1
2) En supposant x > 1etenintégrant sur [x, x
2 ]:
x 2
x
dt
t−1
x 2
x
dt
ln t
x
2 − 1
2lnx
x 2
x
dt
t −1
On en déduira la limite àd roite en 0, puis de même la limite à
gauche (ln2).
3) Si F est une primitive de
t →
1
ln t
, ∀x = 1 f (x) = F (x
2 ) − F (x),
d’où f
(x) =
x − 1
ln x
. D’aprèsl et héorème de prolongement
d’une dérivée, f estaussi dérivable en 1, et f
(1) = 1.
4) Écrire le développement limité de f
àl’ordre 2, puis intégrer
terme àterme, sans oublier la valeur f (1) calculée àlaquestion 2:
f(1 + h) = ln 2+h+
h
2
4
−
h
3
36
+ o(h
3 )
6 ∀x > 0 f
(x) =
3
2
√ x sin
1
x
−
1
√ x
cos
1
x
: f est dérivable sur R
∗
+ . D’autre part, lim
x→0
f (x)
x
= 0 , donc f est dérivable
en 0, avec f
(0) = 0. En définitive, f est dérivable sur R+, mais
sa dérivée f
n’estp as bornée, donc pas continue parm orceaux
sur[0,1]. f
admet pourtant une primitive : f !
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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3) On applique l’inégalité précédente à
(x1, x2, x3) = (a
3 , b
3 , c
3 )
puisà(x1,x2,x3)=(a,b,c).Les inégalités obtenues ne sont pas
triviales :e ssayez de les retrouver pard es moyens élémentaires
(factorisation, parexemple), vous n’en apprécierez quemieux les
fonctions convexes.
La dernière inégalité s’obtient avec
∀i ∈ [[ 1 , n ]] x i = i
15 1) Vérifier que (f )
= (f
).
2) |f | =
f f . Cette fonction est dérivable en tout point où le
contenu de la racine carrée ne s’annule pas et
(|f |)
=
Re (f f
)
|f |
.
16 Pour n ∈ N, écrire :
(at + b)
n − (at0 + b)
n = a(t − t0)
n−1
k=0
(at + b)
k (at + b)
n−1−k
et conclure.
Pour lesp uissances négatives, remarquer que, si n = −m avec
m ∈ N
∗ :
(at + b)
n − (at0 + b)
n =
1
(at + b) n −
1
(at0 + b) m
= −
(at + b)
m − (at0 + b)
m
(at + b) m (at0 + b) m
Dans tous lescas, on obtient f
(t) = na(at + b)
n−1 .
17 ∀t ∈ R
∗
f (t) = t
2 cos
1
t
+ it
2 sin
1
t
.
lim
t→0
f (t)
t
= 0, donc f est dérivable en 0etf
(0) = 0.
∀t ∈ R
∗
f
(t) =
2t cos
1
t
+sin
1
t
+ i
2t sin
1
t
− cos
1
t
;
f
n’a pas de limite en 0:elle n’est pascontinue en 0.
Chapitre 17
1 a) Faux, il faut qu’il n’y ait qu’un nombre fini d’intervalles,f aute de quoi n’importe quelle fonction serait en escalier
(constante sur tout singleton {x} !). b) Faux,elle doit avoir en ces
points une limite àdroite et une limite àgauche. c) Vrai. d) Faux,
ex : f (x) =
1
2E(
1
2x
)+1
sur ]0, 1],prolongée en 0par f (0) = 0.
e) Vrai. f) Faux, ex :fonction en escalier non constante. g) Faux,
voir exercice 6. h) Vrai.
2 Exemple : f (0) = 0e t ∀ n ∈ N f( x ) =
1
2 n sur
1
2 n+1 ,
1
2 n
.
f possède une infinité de points de discontinuité.
3 f estbornée sur[0,1] , soit M = sup
x∈[0,1]
|f (x)|.
|f (t)| M ⇒| g ( x ) |Mx ⇒| f ( x ) |M
x
2
2
M
2
En déduire que M = 0...
4 Supposons d’abord x > 0;
∀t ∈[x,2x]c os 2x cos t 1
D’où cos2x
2x
x
dt
t
2x
x
cos t
t
dt
2x
x
dt
t
Nousendéduirons la limite àdroite en 0, puis de même la limite
àgauche (ln 2).
5 1) La fonction ln étant concave, sa courbe représentative
sur l’intervalle[1,x
2 ]est comprise entre la corde et la tangente au
point d’abscisse 1:
∀t ∈[1, x
2 ]
2lnx
x 2 −1
(t −1) ln t t − 1
2) En supposant x > 1etenintégrant sur [x, x
2 ]:
x 2
x
dt
t−1
x 2
x
dt
ln t
x
2 − 1
2lnx
x 2
x
dt
t −1
On en déduira la limite àd roite en 0, puis de même la limite à
gauche (ln2).
3) Si F est une primitive de
t →
1
ln t
, ∀x = 1 f (x) = F (x
2 ) − F (x),
d’où f
(x) =
x − 1
ln x
. D’aprèsl et héorème de prolongement
d’une dérivée, f estaussi dérivable en 1, et f
(1) = 1.
4) Écrire le développement limité de f
àl’ordre 2, puis intégrer
terme àterme, sans oublier la valeur f (1) calculée àlaquestion 2:
f(1 + h) = ln 2+h+
h
2
4
−
h
3
36
+ o(h
3 )
6 ∀x > 0 f
(x) =
3
2
√ x sin
1
x
−
1
√ x
cos
1
x
: f est dérivable sur R
∗
+ . D’autre part, lim
x→0
f (x)
x
= 0 , donc f est dérivable
en 0, avec f
(0) = 0. En définitive, f est dérivable sur R+, mais
sa dérivée f
n’estp as bornée, donc pas continue parm orceaux
sur[0,1]. f
admet pourtant une primitive : f !
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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