SOLUTIONS
16
Solutions
Chapitre 16
1 a) Faux, ex : x →| x | .b) Faux,e x:x →| x | .
c) Vrai. d) Vrai. e) Faux, ex : x → x
3 en 0. f) Vrai.
g) Faux :une dérivée n’est pas nécessairement continue. h) Faux :
x →|x|est convexe sur R, mais non dérivable en 0. i) Vrai.
j) Vrai.
2 a) Distinguer trois cas:
•
n = 1:
f est définie sur ] − ∞, −1] ∪ [0, +∞[.
f (x) − f (0)
x − 0
∼
(0)
1
√ x
, f n’est pasdérivable en 0.
• n = 2: f est définie sur [−1, +∞[.
f (x)
x
∼
(0)
|x|
x
, donc f n’est
pasdérivable en 0.
• n 3: f est définie sur ] − 8, −1] ∪ R+ ou sur [−1, +∞[
suivantlaparité de f .
f (x)
x
∼
(0)
x
n
2
−1 avec
n
2
> 1; f est dérivable
en 0.
b) ∀x ∈ [−1, 1], f (x) =
2
√ 1+x+
√ 1−x
.
f est dérivable sur ] − 1, 1[, donc en 0.
c)
f (x)
x
n’a pasd el imite quand x tend vers 0, donc f n’est pas
dérivable en 0.
d) lim
x→0
f (x)
x
= 0, donc f estdérivable en 0etf
(0) = 0(voir la
remarque àpropos du théorème 5:f
n’a pasdelimite en 0, elle
n’est pascontinue en 0).
3 On peut écrire :
f (x0 + h) − f (x0 − h)
2h
=
1
2
f (x0 + h) − f (x0)
h
+
f (x0 − h) − f (x0)
−h
Que h tende vers 0p ar valeurs supérieures ou parv aleurs inférieures, ce quotient tend vers
1
2
f
d (x0)+f
g (x0)
.En particulier,
si f estdérivable en x0, cettelimite est f
(x0).
La réciproque est fausse :toute fonction paire admet une dérivée
symétrique nulle en 0, alors qu’elle n’est pasnécessairement dérivable àdroite et àgauche en ce point ;exemple : f (x) = x sin
1
x
si x = 0etf(0) = 0.
4 1) f est dérivable sur ] − 1, 1[ \{0}. En 0:
lim
x→0
f (x)
x
= 0
donc f estdérivable en 0etf
(0) = 0.
2) ∀x ∈ ] − 1, 1[ \{0}
f
(x) =
ln |x|−1
(ln |x|) 2 cos
1
x
+
x
ln |x|
−
1
x 2
−sin
1
x
.
D’où :
f
(un) =
1
un ln un
et lim
n→∞
f
(un) = −∞ .
De même :l im
n→∞
f
(vn) = +∞.
3) (un)et(vn)convergent vers 0etleurs images par f
ne sont pas
bornées,d onci ln ’existe aucunv oisinaged e0s ur lequel f
soit
bornée.
5 2) Soit ε > 0;il existe α > 0tel que:
|x|α ⇒
f(2x) − f (x)
x
ε
Pour tout n ∈ N
∗ ,
|x| α =⇒
f (x)
x
ε
n
k=1
1
2 k +
f
x
2 n
x
ε +
f
x
2 n
x
x étant fixé,
x
2 n tend vers 0q uand n tend vers +∞, et comme f
est continue en 0, f
x
2 n
tend vers f (0), c’est-à-dire 0. Il existe
donc un entier n0 tel que:
∀nn0
f
x
2 n
x
ε
d’où :
f (x)
x
2ε
ce quiprouve que f est dérivable en 0etque f
(0) = 0.
6 a) −
2
3
x
− 5
3 +
3
2
x
− 5
2 ; b)
x +
√ x 2 +1
2
√ x 2 +1
;
c) x
a−1 a
−x (a − x ln a); d) (ln x +1)x
x ;
e)
1
sin x
; f)
1
√ x 2 +1
;
g) (cos x)
sin x
cos x ln(cos x) −
sin
2 x
cos x
;
h)
2x cos(x
2 )
√ sin(x 2 )sin(2
√ sin(x 2 )+2)
.
7 a) Au vu des premiers résultats, on peut conjecturer que :
f
(n) (x) =
n!
(1 − x) n+1 et le vérifier par récurrence.
b) De même, f
(n) (x) =
(−1)
n n!
(1 + x) n+1 (on peut le déduire de a) en
changeant x en −x).
c)
1
1 − x 2 =
1
2(x +1)
−
1
2(x − 1)
;appliquer a) et b).
d) cos
3 x =
1
4
cos 3x +
3
4
cos x, d’où :
f
(n) (x) =
3
n
4
cos
3x +
nπ
2
+
3
4
cos
x +
nπ
2
.
e) e
x sin x = Im
e
(1+i)x
, d’où :
f
(n) (x) = Im
(1 + i)
n e
(1+i)x
= 2
n
2 e
x sin
x +
nπ
4
.
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Solutions
Chapitre 16
1 a) Faux, ex : x →| x | .b) Faux,e x:x →| x | .
c) Vrai. d) Vrai. e) Faux, ex : x → x
3 en 0. f) Vrai.
g) Faux :une dérivée n’est pas nécessairement continue. h) Faux :
x →|x|est convexe sur R, mais non dérivable en 0. i) Vrai.
j) Vrai.
2 a) Distinguer trois cas:
•
n = 1:
f est définie sur ] − ∞, −1] ∪ [0, +∞[.
f (x) − f (0)
x − 0
∼
(0)
1
√ x
, f n’est pasdérivable en 0.
• n = 2: f est définie sur [−1, +∞[.
f (x)
x
∼
(0)
|x|
x
, donc f n’est
pasdérivable en 0.
• n 3: f est définie sur ] − 8, −1] ∪ R+ ou sur [−1, +∞[
suivantlaparité de f .
f (x)
x
∼
(0)
x
n
2
−1 avec
n
2
> 1; f est dérivable
en 0.
b) ∀x ∈ [−1, 1], f (x) =
2
√ 1+x+
√ 1−x
.
f est dérivable sur ] − 1, 1[, donc en 0.
c)
f (x)
x
n’a pasd el imite quand x tend vers 0, donc f n’est pas
dérivable en 0.
d) lim
x→0
f (x)
x
= 0, donc f estdérivable en 0etf
(0) = 0(voir la
remarque àpropos du théorème 5:f
n’a pasdelimite en 0, elle
n’est pascontinue en 0).
3 On peut écrire :
f (x0 + h) − f (x0 − h)
2h
=
1
2
f (x0 + h) − f (x0)
h
+
f (x0 − h) − f (x0)
−h
Que h tende vers 0p ar valeurs supérieures ou parv aleurs inférieures, ce quotient tend vers
1
2
f
d (x0)+f
g (x0)
.En particulier,
si f estdérivable en x0, cettelimite est f
(x0).
La réciproque est fausse :toute fonction paire admet une dérivée
symétrique nulle en 0, alors qu’elle n’est pasnécessairement dérivable àdroite et àgauche en ce point ;exemple : f (x) = x sin
1
x
si x = 0etf(0) = 0.
4 1) f est dérivable sur ] − 1, 1[ \{0}. En 0:
lim
x→0
f (x)
x
= 0
donc f estdérivable en 0etf
(0) = 0.
2) ∀x ∈ ] − 1, 1[ \{0}
f
(x) =
ln |x|−1
(ln |x|) 2 cos
1
x
+
x
ln |x|
−
1
x 2
−sin
1
x
.
D’où :
f
(un) =
1
un ln un
et lim
n→∞
f
(un) = −∞ .
De même :l im
n→∞
f
(vn) = +∞.
3) (un)et(vn)convergent vers 0etleurs images par f
ne sont pas
bornées,d onci ln ’existe aucunv oisinaged e0s ur lequel f
soit
bornée.
5 2) Soit ε > 0;il existe α > 0tel que:
|x|α ⇒
f(2x) − f (x)
x
ε
Pour tout n ∈ N
∗ ,
|x| α =⇒
f (x)
x
ε
n
k=1
1
2 k +
f
x
2 n
x
ε +
f
x
2 n
x
x étant fixé,
x
2 n tend vers 0q uand n tend vers +∞, et comme f
est continue en 0, f
x
2 n
tend vers f (0), c’est-à-dire 0. Il existe
donc un entier n0 tel que:
∀nn0
f
x
2 n
x
ε
d’où :
f (x)
x
2ε
ce quiprouve que f est dérivable en 0etque f
(0) = 0.
6 a) −
2
3
x
− 5
3 +
3
2
x
− 5
2 ; b)
x +
√ x 2 +1
2
√ x 2 +1
;
c) x
a−1 a
−x (a − x ln a); d) (ln x +1)x
x ;
e)
1
sin x
; f)
1
√ x 2 +1
;
g) (cos x)
sin x
cos x ln(cos x) −
sin
2 x
cos x
;
h)
2x cos(x
2 )
√ sin(x 2 )sin(2
√ sin(x 2 )+2)
.
7 a) Au vu des premiers résultats, on peut conjecturer que :
f
(n) (x) =
n!
(1 − x) n+1 et le vérifier par récurrence.
b) De même, f
(n) (x) =
(−1)
n n!
(1 + x) n+1 (on peut le déduire de a) en
changeant x en −x).
c)
1
1 − x 2 =
1
2(x +1)
−
1
2(x − 1)
;appliquer a) et b).
d) cos
3 x =
1
4
cos 3x +
3
4
cos x, d’où :
f
(n) (x) =
3
n
4
cos
3x +
nπ
2
+
3
4
cos
x +
nπ
2
.
e) e
x sin x = Im
e
(1+i)x
, d’où :
f
(n) (x) = Im
(1 + i)
n e
(1+i)x
= 2
n
2 e
x sin
x +
nπ
4
.
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