Solutions
SOLUTIONS
7
elle est constituée de deux points si AB > AF (deuxp ositions
possibles de H ,symétriques par rapport à B).
11 Choisissons dans un repère orthonormé du plan (O,, i, j)la
parabole d’équation y
2 = 2px,soit Δ = (x
x)etD=(y
y).
(faitesundessin).
M = (x1, y1)e tN =( x 2 ,y 2 ), d’où I = (
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)e t
J=(
x 1+x 2
2
,0).
K = (xK , 0) tel que
−→
IH .
−−→
MN = 0, c’est-à-dire :
(xK −
x1 + x2
2
)(x2 − x1) −
y1 + y2
2
(y2 − y1) = 0.
Soit : xK =
x1 + x2
2
+
y
2
2 − y
2
1
2(x2 − x1)
et :
−→
JK = p j
12 L’équation de la tangente en M0 à P est : y0y −p(x +x0) = 0,
celle de la normale estdonc : y0(x − x0)+p(y−y0)=0.
Soit M1, M2 et M3 trois points de la parabole dont les normales
sontconcourantes ;ceci signifie quelesystème :
yix + py + yi(x + p) = 0 i ∈ [[ 1 , 3]]
possède une solution (x, y) ∈ R
2 ,cequi équivaut à:
y1 py 1 ( x 1 + p )
y 2py 2 ( x 2 + p )
y 3py 3 ( x 3 + p )
= 0 .
Soit :
y1y3(x3 − x1)+y2y1(x1−x2)+y3y2(x2−x3)=0
ou, en utilisant xi =
y
2
i
2p
:
y
3
1 (y2 − y3)+y
3
2 (y3−y1)+y
3
3 (y1−y2)=0( 1)
ou : y
3
3 (y1 −y2)−y3(y
3
1 −y
3
2 )+y
3
1 y2−y
3
2 y1 = 0, ce qui en simplifiant
par y1 − y2 équivaut à:
y
3
3 −y3(y
2
1 +y1y2+y
3
2 )+y
2
1 y2+y
2
2 y1 =0
Par M1, M2 et M3 passe un unique cercle d’équation : x
2 + y
2 +
ax + by + c = 0Lepoint O appartientàce cercle si et seulement si
c = 0;les quatre poins M1, M2, M3 et O sont donc cocycliques
si et seulement si le système :
x
2
i + y
2
i + axi + byi = 0 i ∈ [[ 1 , 3]]
possède une solution (a, b) ∈ R
2 ,cequi équivaut à:
x
2
1 +y
2
1
x1 y1
x
2
2 +y
2
2
x2 y2
x
2
3 +y3 x3 y3
=0.
Soit, en utilisant xi =
y
2
i
2p
:
y1y2y3
8p 2
y
3
1
y1 1
y
3
2
y2 1
y
3
3
y3 1
= 0qui est la
condition (1). La propriété est donc établie.
Chapitre 7
1 a) Faux : cf.§ 1.2. b) Faux, il estc hangé en son opposé si on inversel ’orientation. c) Vrai. d) Faux, il estc hangé
en son opposés io né change deux vecteurs. e) Faux, une telle
équation,avec (a, b, c)
= 0représente toujours un plan. f) Vrai.
g) Vrai.
2 D’une part
−→
OA ·
−−→
OA
= R
2 cos α, où α est une mesure de
l’angle
AOA . D’autrepart, en désignant par H et H
lesprojetés
orthogonaux de A et A
surleplan équatorial :
−→
OA ·
−−→
OA
= (
−−→
OH +
−→
HA) · (
−−→
OH
+
−−→
H
A
)
−→
OA ·
−−→
OA
=
−−→
OH ·
−−→
OH
+
−→
HA ·
−−→
H
A
La distance entre A et A
àlasurface de la Terre (il n’est pas question de creuser un tunnel !) estlalongueur de l’arc AA
du cercle
de centre O passantp ar A et A
, c’est-à-dire : L = Rα. On en
déduira:
L=RArccos
cos λ cos λ
cos(ϕ − ϕ
)+sin λ sin λ
Pour Paris-Rio(penser àconvertir les angles en radians), on obtient
L = 9180 km.
3 Utiliser la formule du double produit vectoriel.
4 1) ( a ∧ b) · ( c ∧ d ) =
a, b,, c ∧ d
=
c ∧ d,, a, b
=
( c ∧ d)∧a
· b
Utiliser la formule du double produit vectoriel pour conclure.
2)
( a ∧ b)∧( c ∧ d ) =
a · ( c ∧ d )
b −
b · ( c ∧ d)
a
=
c, d ,, a
b −
c, d, b
a
On peut refaire le même calcul en partant de −( c ∧ d )∧( a ∧ b).
5 1) En réutilisant les résultats de l’exercice précédent, on
obtient:
[x1∧x2,x2∧x3,x3∧x1]=
(x1∧x2)∧(x2∧x3)
·(x3∧x1)
=
[x1,x2,x3]x2
·(x3∧x1)
2) a) x
i · xj = δij (1 si i = j et 0sii =j)
b) Réutiliser le résultat de la question 1.
6 On peut résoudre l’exercice analytiquement, ou en utilisant des transformations :s oit G l’isobarycentre de A, B, C. Le
triangle (A
B
C
)est l’image du triangle (ABC)par la composée
de l’homothétie de centre G de rapport −
1
2
et de l’homothétie
de centre O de rapport2.Quelle est la nature de cette composée ?
Conclure.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
549
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elle est constituée de deux points si AB > AF (deuxp ositions
possibles de H ,symétriques par rapport à B).
11 Choisissons dans un repère orthonormé du plan (O,, i, j)la
parabole d’équation y
2 = 2px,soit Δ = (x
x)etD=(y
y).
(faitesundessin).
M = (x1, y1)e tN =( x 2 ,y 2 ), d’où I = (
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)e t
J=(
x 1+x 2
2
,0).
K = (xK , 0) tel que
−→
IH .
−−→
MN = 0, c’est-à-dire :
(xK −
x1 + x2
2
)(x2 − x1) −
y1 + y2
2
(y2 − y1) = 0.
Soit : xK =
x1 + x2
2
+
y
2
2 − y
2
1
2(x2 − x1)
et :
−→
JK = p j
12 L’équation de la tangente en M0 à P est : y0y −p(x +x0) = 0,
celle de la normale estdonc : y0(x − x0)+p(y−y0)=0.
Soit M1, M2 et M3 trois points de la parabole dont les normales
sontconcourantes ;ceci signifie quelesystème :
yix + py + yi(x + p) = 0 i ∈ [[ 1 , 3]]
possède une solution (x, y) ∈ R
2 ,cequi équivaut à:
y1 py 1 ( x 1 + p )
y 2py 2 ( x 2 + p )
y 3py 3 ( x 3 + p )
= 0 .
Soit :
y1y3(x3 − x1)+y2y1(x1−x2)+y3y2(x2−x3)=0
ou, en utilisant xi =
y
2
i
2p
:
y
3
1 (y2 − y3)+y
3
2 (y3−y1)+y
3
3 (y1−y2)=0( 1)
ou : y
3
3 (y1 −y2)−y3(y
3
1 −y
3
2 )+y
3
1 y2−y
3
2 y1 = 0, ce qui en simplifiant
par y1 − y2 équivaut à:
y
3
3 −y3(y
2
1 +y1y2+y
3
2 )+y
2
1 y2+y
2
2 y1 =0
Par M1, M2 et M3 passe un unique cercle d’équation : x
2 + y
2 +
ax + by + c = 0Lepoint O appartientàce cercle si et seulement si
c = 0;les quatre poins M1, M2, M3 et O sont donc cocycliques
si et seulement si le système :
x
2
i + y
2
i + axi + byi = 0 i ∈ [[ 1 , 3]]
possède une solution (a, b) ∈ R
2 ,cequi équivaut à:
x
2
1 +y
2
1
x1 y1
x
2
2 +y
2
2
x2 y2
x
2
3 +y3 x3 y3
=0.
Soit, en utilisant xi =
y
2
i
2p
:
y1y2y3
8p 2
y
3
1
y1 1
y
3
2
y2 1
y
3
3
y3 1
= 0qui est la
condition (1). La propriété est donc établie.
Chapitre 7
1 a) Faux : cf.§ 1.2. b) Faux, il estc hangé en son opposé si on inversel ’orientation. c) Vrai. d) Faux, il estc hangé
en son opposés io né change deux vecteurs. e) Faux, une telle
équation,avec (a, b, c)
= 0représente toujours un plan. f) Vrai.
g) Vrai.
2 D’une part
−→
OA ·
−−→
OA
= R
2 cos α, où α est une mesure de
l’angle
AOA . D’autrepart, en désignant par H et H
lesprojetés
orthogonaux de A et A
surleplan équatorial :
−→
OA ·
−−→
OA
= (
−−→
OH +
−→
HA) · (
−−→
OH
+
−−→
H
A
)
−→
OA ·
−−→
OA
=
−−→
OH ·
−−→
OH
+
−→
HA ·
−−→
H
A
La distance entre A et A
àlasurface de la Terre (il n’est pas question de creuser un tunnel !) estlalongueur de l’arc AA
du cercle
de centre O passantp ar A et A
, c’est-à-dire : L = Rα. On en
déduira:
L=RArccos
cos λ cos λ
cos(ϕ − ϕ
)+sin λ sin λ
Pour Paris-Rio(penser àconvertir les angles en radians), on obtient
L = 9180 km.
3 Utiliser la formule du double produit vectoriel.
4 1) ( a ∧ b) · ( c ∧ d ) =
a, b,, c ∧ d
=
c ∧ d,, a, b
=
( c ∧ d)∧a
· b
Utiliser la formule du double produit vectoriel pour conclure.
2)
( a ∧ b)∧( c ∧ d ) =
a · ( c ∧ d )
b −
b · ( c ∧ d)
a
=
c, d ,, a
b −
c, d, b
a
On peut refaire le même calcul en partant de −( c ∧ d )∧( a ∧ b).
5 1) En réutilisant les résultats de l’exercice précédent, on
obtient:
[x1∧x2,x2∧x3,x3∧x1]=
(x1∧x2)∧(x2∧x3)
·(x3∧x1)
=
[x1,x2,x3]x2
·(x3∧x1)
2) a) x
i · xj = δij (1 si i = j et 0sii =j)
b) Réutiliser le résultat de la question 1.
6 On peut résoudre l’exercice analytiquement, ou en utilisant des transformations :s oit G l’isobarycentre de A, B, C. Le
triangle (A
B
C
)est l’image du triangle (ABC)par la composée
de l’homothétie de centre G de rapport −
1
2
et de l’homothétie
de centre O de rapport2.Quelle est la nature de cette composée ?
Conclure.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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