COURS 9
Nombresentiers naturels –Combinatoire
1.5 • Suites arithmétiquesetgéométriques
Dans ce paragraphe, E = R ou C. On généralisera plus tard àd’autres ensembles
dans lesquels on peut définirune addition et une multiplication.
On appelle suite arithmétique une suite définie par son premier terme et la
relation : u n+1 = u n + r (r est appelé raison de la suite). On montre par
récurrence que pour tout n ∈ N : u n = u 0 + nr.
Toujours par récurrence, on montre que la somme des termes d’une suite arithmétique finie est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier
et du dernier:
n
i = 1
u i =n
u 1 +u n
2
On appelle suite géométrique une suite définie par son premier terme et la
relation : u n+1 = u n q (q est appelé raison de la suite). On montre par récurrence
que pour tout n ∈ N : u n = u 0 q
n
.
ÀRETENIR
«Lep remier qui ye st, moins le premierq ui n’y est pas, divisé paru n
moins la raison. »
On peut calculer également la somme des termes d’une suite géométrique
finie:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Si q = 1
n
i=1
u i = nu 1
Si q = 1
n
i=1
u i =
u 1 − u n+1
1 − q
2 Ensemblesfinis
2.1 • IntervallesdeN
Convenons de noter [[ 1 , n ]] l’ensemble des entiers naturels compris entre 1e t
n:[ [1, n]] = { p ∈ N , 1 p n } .
(Par convention, on notera :[ [1, 0]] = ∅ .)
Lemme2.1
Soit n ∈ N
∗
et a ∈ [[ 1 , n ]] .
Il existe une bijection de [[ 1 , n ]] \{a} dans [[ 1 , n − 1]] .
Démonstration
Si n = 1, [[ 1 , n ]] \{a} = ∅ = [[ 1 , n − 1]].
Or il existe une application uniquede ∅ dans ∅, et celle-ci estbijective.
Si n > 1, l’application f de [[ 1 , n ]] \{a} dans [[ 1 , n − 1]]d éfinie par :
∀x ∈ [[ 1 , n ]] \{a}
si x < a, f (x) = x
si x > a, f (x) = x − 1
est bien bijective.
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