Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
What Is Mechanics of Continuous Medium? . . . . . . . . . . . . . . . .
1
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Stress and Strain in Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1
Newton’s Universal Laws of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
First Universal Law of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Second Universal Law of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.3
Third Universal Law of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.4
Range of Validity of Newton’s Universal Laws
of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5
Relation to the Thermodynamics and Conservation
Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2
Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1
Definitions of Stress and Traction . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2
Stress Vector on an Arbitrary Plane . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3
Symmetry of Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4
Couple Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1
Example 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5
Principal Stresses and Principal Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6
Stress Tensor Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.1
Stress Invariants in Principal Axes . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2
Representation of Stress Tensor in Spherical and
Deviatoric Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.3
Invariants of the Deviatoric Stress Tensor . . . . . . . . . . . 27
2.7
Deformation and Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.1
Small Strain Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.2
Small Strain and Small Rotation Formulation . . . . . . . . . 31
2.7.3
Small Strain and Rotation in 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8
Kinematics of Continuous Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.1
Material (Local) Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ix
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1
What Is Mechanics of Continuous Medium? . . . . . . . . . . . . . . . .
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References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Stress and Strain in Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1
Newton’s Universal Laws of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
First Universal Law of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Second Universal Law of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.3
Third Universal Law of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.4
Range of Validity of Newton’s Universal Laws
of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5
Relation to the Thermodynamics and Conservation
Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2
Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1
Definitions of Stress and Traction . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2
Stress Vector on an Arbitrary Plane . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3
Symmetry of Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4
Couple Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1
Example 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5
Principal Stresses and Principal Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6
Stress Tensor Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.1
Stress Invariants in Principal Axes . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2
Representation of Stress Tensor in Spherical and
Deviatoric Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.3
Invariants of the Deviatoric Stress Tensor . . . . . . . . . . . 27
2.7
Deformation and Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.1
Small Strain Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.2
Small Strain and Small Rotation Formulation . . . . . . . . . 31
2.7.3
Small Strain and Rotation in 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8
Kinematics of Continuous Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.1
Material (Local) Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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