V ¼ C 1 A 1 A 1 þ S
ð
Þ
À1 φ 1 S A 1 þ S
ð
Þ
À1 A 1 þ I
ð
Þ I À
X 2
q¼1
φ q S A q þ S
À
Á 2 1
"
# À1
þ I 2 S
ð
Þ
8
<
:
9
=
;
ð6:231Þ
By carrying out the lengthy algebra, the components of the positive definite
fourth-rank tensor Uand V are explicitly given by
U ijkl ¼ U 1 δ ij δ kl þ U 2 δ ik δ jl þ δ il δ jk
À
Á
ð6:232Þ
V ijkl ¼ V 1 δ ij δ kl þ V 2 δ ik δ jl þ δ il δ jk
À
Á
ð6:233Þ
where
3U 1 þ 2U 2 ¼
3α 1 þ 2β 1
ð
ÞÀ10 1 þ v 0
ð
Þ
3α 1 þ 2β 1
ð
Þ 1 À 10 1 þ v 0
ð
Þ
P 2
q¼1
φ q
3α q þ2β q
"
# Á 3k 1
ð4:234Þ
U 2 ¼
β 1 À 2 4 À 5v 0
ð
Þ
β 1 1 À 2 4 À 5v 0
ð
Þ
P 2
q¼1
φ q
β q
"
# Á μ 1
ð6:235Þ
3V 1 þ 2V 2 ¼
3α 1 þ 2β 1
ð
ÞÀ10 1 þ v 0
ð
Þ
3α 1 þ 2β 1
ð
Þ
10 1 þ v 0
ð
Þφ 1 k 1
3α 1 þ 2β 1
ð
Þ 1 À 10 1 þ v 0
ð
Þ
P 2
q¼1
φ q
3α q þ 2β q
"
#
k 1 À k 0
ð
Þ
þ
2 1 À 2v 0
ð
Þ
3 1 À v 0
ð
Þ
8
> > > > <
> > > > :
9
> > > > =
> > > > ;
3k 1
ð6:236Þ
V 2 ¼
β 1 À 2 4 À 5v 0
ð
Þ
β 1
Á
2 4 À 5v 0
ð
Þ φ 1 μ 1
β 1 1 À 2 4 À 5v 0
ð
Þ
P 2
q¼1
φ q
β q
"
#
μ 1 À μ 0
ð
Þ
þ
7 À 5v 0
15 1 À v 0
ð
Þ
2
6
6
6
6
4
3
7
7
7
7
5
μ 1
ð6:237Þ
308
6 Unified Micromechanics of Particulate Composites