3P 1 þ 2P 2 ¼ aφ þ 1
ð6:70Þ
P 2 ¼
1
2
bφ þ 1
ð
Þ
ð6:71Þ
3Q 1 þ 2Q 2 ¼ aφ
ð6:72Þ
Q 2 ¼
1
2
bφ
ð6:73Þ
a ¼
20 1 À 2v 0
ð
Þ
3α þ 2β
ð6:74Þ
b ¼
7 À 5v 0
ð
Þ
β
ð6:75Þ
With the help of Eq. (6.65), we arrive at the alternative expression for the
ensemble-averaged current stress norm in a matrix point x as:
H
h i m x
ð Þ ¼ σ : T : σ þ 2σ : T
à : σ
T
þ σ
T
: T
ÃÃ : σ
T
ð6:76Þ
where the positive definite fourth-rank tensor T, T
à , and T
ÃÃ are defined as
T ¼ P
À1
À
Á T Á T Á P
À1
ð6:77Þ
T
à = P
2 1
À
Á T Á T Á P
À1
Á Q 2 T
Ã
Á P
À1
ð6:78Þ
T
ÃÃ = P
À1
Á Q
À
Á T Á T Á P
À1
Á Q
À
Á þ T
Ã
2 2T
Ã
Á P
À1
Á Q
À
Á
ð6:79Þ
where the components of T, T
à , and T
ÃÃ are
T ijkl ¼ T 1 δ ij δ kl þ T 2 δ ik δ jl þ δ il δ jk
À
Á
ð6:80Þ
T ijkl
à ¼ T 1
à δ ij δ kl þ T 2
à δ ik δ jl þ δ il δ jk
À
Á
ð6:81Þ
T ijkl
ÃÃ ¼ T 1
ÃÃ δ ij δ kl þ T 2
ÃÃ δ ik δ jl þ δ il δ jk
À
Á
ð6:82Þ
with
3T 1 þ 2T 2 ¼
3T 1 þ 2T 2
aφ þ 1
ð
Þ
2
ð6:83Þ
T 2 ¼
T 2
bφ þ 1
ð
Þ
2
ð6:84Þ
6.3 Noninteracting Solution for Two-Phase Composites
289