5.7.4
General Couple Stress Theory Implementation . . . . . . . . 252
5.8
Cosserat Continuum Implementation in Unified Mechanics
Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.8.1
Rate-Independent Material Without Degradation . . . . . . 256
5.8.2
Rate-Dependent Material Without Degradation . . . . . . . 262
5.8.3
Thermodynamic State Index Coupling . . . . . . . . . . . . . . 263
5.8.4
Entropy Generation Rate in Cosserat Continuum . . . . . . 266
5.8.5
Integration Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6 Unified Micromechanics of Particulate Composites . . . . . . . . . . . . . . 277
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.2
Ensemble-Volume Averaged Micromechanical Field Equations . . . 280
6.3
Noninteracting Solution for Two-Phase Composites . . . . . . . . . . 284
6.3.1
Average Stress Norm in Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.3.2
Average Stress in Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.4
Pairwise Interacting Solution for Two-Phase Composites . . . . . . . 292
6.4.1
Approximate Solution of Two-Phase Interaction . . . . . . . 292
6.4.2
Ensemble-Average Stress Norm in the Matrix . . . . . . . . 295
6.4.3
Ensemble-Average Stress in the Filler Particles . . . . . . . 298
6.5
Noninteracting Solution for Three-Phase Composites . . . . . . . . . 300
6.5.1
Effective Elastic Modulus of Multiphase Composites . . . 301
6.5.2
Ensemble-Average Stress Norm in the Matrix . . . . . . . . 302
6.5.3
Ensemble-Average Stress in Filler Particles . . . . . . . . . . 306
6.6
Effective Thermo-Mechanical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.6.1
Effective Bulk Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.6.2
Effective Coefficient of Thermal Expansion (ECTE) . . . . 310
6.6.3
Effective Shear Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.6.4
Effective Young’s Modulus and Effective
Poisson’s Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.6.5
Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.7
Micromechanical Constitutive Model of the Particulate
Composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.7.1
Modeling Procedures for Particulate Composites . . . . . . 316
6.7.2
Elastic Properties of Particulate Composites . . . . . . . . . . 317
6.7.3
A Viscoplasticity Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.7.4
Thermodynamic State Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.7.5
Solution Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.7.6
Consistent Elastic-Viscoplastic Tangent Modulus . . . . . . 329
6.8
Verification Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.8.1
Material Properties of ATH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.8.2
Properties of PMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.8.3
Properties of Matrix-Filler Interphase . . . . . . . . . . . . . . 333
6.8.4
Cyclic Stress-Strain Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
xii
Contents
General Couple Stress Theory Implementation . . . . . . . . 252
5.8
Cosserat Continuum Implementation in Unified Mechanics
Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.8.1
Rate-Independent Material Without Degradation . . . . . . 256
5.8.2
Rate-Dependent Material Without Degradation . . . . . . . 262
5.8.3
Thermodynamic State Index Coupling . . . . . . . . . . . . . . 263
5.8.4
Entropy Generation Rate in Cosserat Continuum . . . . . . 266
5.8.5
Integration Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6 Unified Micromechanics of Particulate Composites . . . . . . . . . . . . . . 277
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.2
Ensemble-Volume Averaged Micromechanical Field Equations . . . 280
6.3
Noninteracting Solution for Two-Phase Composites . . . . . . . . . . 284
6.3.1
Average Stress Norm in Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.3.2
Average Stress in Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.4
Pairwise Interacting Solution for Two-Phase Composites . . . . . . . 292
6.4.1
Approximate Solution of Two-Phase Interaction . . . . . . . 292
6.4.2
Ensemble-Average Stress Norm in the Matrix . . . . . . . . 295
6.4.3
Ensemble-Average Stress in the Filler Particles . . . . . . . 298
6.5
Noninteracting Solution for Three-Phase Composites . . . . . . . . . 300
6.5.1
Effective Elastic Modulus of Multiphase Composites . . . 301
6.5.2
Ensemble-Average Stress Norm in the Matrix . . . . . . . . 302
6.5.3
Ensemble-Average Stress in Filler Particles . . . . . . . . . . 306
6.6
Effective Thermo-Mechanical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.6.1
Effective Bulk Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.6.2
Effective Coefficient of Thermal Expansion (ECTE) . . . . 310
6.6.3
Effective Shear Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.6.4
Effective Young’s Modulus and Effective
Poisson’s Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.6.5
Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.7
Micromechanical Constitutive Model of the Particulate
Composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.7.1
Modeling Procedures for Particulate Composites . . . . . . 316
6.7.2
Elastic Properties of Particulate Composites . . . . . . . . . . 317
6.7.3
A Viscoplasticity Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.7.4
Thermodynamic State Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.7.5
Solution Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.7.6
Consistent Elastic-Viscoplastic Tangent Modulus . . . . . . 329
6.8
Verification Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.8.1
Material Properties of ATH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.8.2
Properties of PMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.8.3
Properties of Matrix-Filler Interphase . . . . . . . . . . . . . . 333
6.8.4
Cyclic Stress-Strain Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
xii
Contents