viii
Contents
2.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.1 Response Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.2 Moving Loads. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.3 Coulomb Damping Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Eigenvalue Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Systems of Linear Algebraic Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Nonsymmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Multi-Degree of Freedom (MDOF) Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Physical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Classical Modal Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1 Modal Frequencies and Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.2 Properties of Modal Shapes and Frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.3 Approximate Calculation of Modal Frequencies . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.4 Proportional Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.5 Displacement Vector Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Time Domain Analysis: Proportional Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1 Damped Systems: Forced Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1.1 Initial Conditions for q(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.1.2 System Displacement x(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.1.3 Solution Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Damped Systems: Free Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.3 Undamped Systems: Forced Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.4 Undamped Systems: Free Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.5 Earthquake Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.5.1 Seismic Ground Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.5.2 Design Response Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.6 Experimental Determination of Modal Frequencies . . . . . . . . . . 92
4.4.7 Torsional Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Time Domain Analysis: Non-proportional Damping. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.1 State-Space Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.2 Eigenvalues and Right/Left Eigenvectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.3 Properties of Eigenvalues and Right/Left Eigenvectors. . . . . . . 100
4.5.4 Forced Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.5 Free Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
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2.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.1 Response Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.2 Moving Loads. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.3 Coulomb Damping Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Eigenvalue Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Systems of Linear Algebraic Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Nonsymmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Multi-Degree of Freedom (MDOF) Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Physical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Classical Modal Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1 Modal Frequencies and Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.2 Properties of Modal Shapes and Frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.3 Approximate Calculation of Modal Frequencies . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.4 Proportional Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.5 Displacement Vector Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Time Domain Analysis: Proportional Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1 Damped Systems: Forced Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1.1 Initial Conditions for q(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.1.2 System Displacement x(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.1.3 Solution Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Damped Systems: Free Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.3 Undamped Systems: Forced Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.4 Undamped Systems: Free Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.5 Earthquake Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.5.1 Seismic Ground Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.5.2 Design Response Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.6 Experimental Determination of Modal Frequencies . . . . . . . . . . 92
4.4.7 Torsional Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Time Domain Analysis: Non-proportional Damping. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.1 State-Space Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.2 Eigenvalues and Right/Left Eigenvectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.3 Properties of Eigenvalues and Right/Left Eigenvectors. . . . . . . 100
4.5.4 Forced Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.5 Free Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103