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1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Single Degree of Freedom (SDOF) Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1 Newton’s Second Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2 Physical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3 Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4 Time Domain Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 General Homogeneous Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 General Homogeneous Solution (ζ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2.1 Standard Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2.2 Amplitude-Phase Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2.3 Damping Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.3 Particular Inhomogeneous Solution, Simple Forcing
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.4 Particular Inhomogeneous Solution, Arbitrary Forcing
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.5 Harmonic Force, Undamped System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.5.1 Resonance Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.5.2 Beating Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.6 Harmonic Force, Damped System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.6.1 Alternative Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.6.2 Dynamic Amplification Factor (DAF). . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Frequency Domain Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Fourier Series Representation of Forcing Functions . . . . . . . . . . 33
2.5.2 Steady-State Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.1 Finite Difference (FD) Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.1.1 FD Approximations of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.1.2 FD Version of the Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.2 Fourier Series (FS) Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Single Degree of Freedom (SDOF) Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1 Newton’s Second Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2 Physical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3 Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4 Time Domain Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 General Homogeneous Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 General Homogeneous Solution (ζ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2.1 Standard Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2.2 Amplitude-Phase Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2.3 Damping Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.3 Particular Inhomogeneous Solution, Simple Forcing
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.4 Particular Inhomogeneous Solution, Arbitrary Forcing
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.5 Harmonic Force, Undamped System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.5.1 Resonance Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.5.2 Beating Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.6 Harmonic Force, Damped System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.6.1 Alternative Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.6.2 Dynamic Amplification Factor (DAF). . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Frequency Domain Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Fourier Series Representation of Forcing Functions . . . . . . . . . . 33
2.5.2 Steady-State Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.1 Finite Difference (FD) Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.1.1 FD Approximations of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.1.2 FD Version of the Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.2 Fourier Series (FS) Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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