vi
Préface
2 n , n arbitrairement grand [131]. Il n’est pas surprenant que la complexité des
algèbres simples centrales liées aux groupes algébriques (i.e. algèbres de Tits)
intervienne de façon déterminante dans les énoncés. Donnons deux énoncés prédits
par la conjecture pour un corps k de dimension cohomologique séparable ≤ 2 (de
caractéristique = 2 pour le second).
(I) Si A est une algèbre simple centrale définie sur k, alors la norme réduite
Nrd A : A × → k × est surjective.
(II) Les formes quadratiques (de dim. finie) non dégénérées sur k sont classifiées
par leur rang, leur discriminant et leur invariant de Hasse-Witt.
L’assertion (I) a été établie en 1984 par Suslin, nous revenons dessus au §4.
L’assertion (II) a été établie par Merkurjev [3, prop. 2] en caractéristique =
2. La plus grande évidence pour la conjecture est qu’elle vaut d’après Bayer–
Fluckiger/Parimala pour les groupes classiques sur un corps parfait, ainsi que ceux
de type G 2 et F 4 [11]. Dans le cas de caractéristique 2, la conjecture II « étendue »
pour ces mêmes groupes a été établie par Berhuy/Frings/Tignol [15].
Sur les groupes exceptionnels restants (D 4 trialitaire, E 6 , E 7 , E 8 ), il n’y a que
des résultats partiels dus à Chernousov [38] et à l’auteur [77]. Le premier but de ce
livre est de remettre au goût du jour l’article [77] fondé sur la théorie de Bruhat-Tits
et l’invariant de Rost. Etant donné un groupe G/k satisfaisant les hypothèses de la
conjecture II et un k-tore maximal, il s’agit de montrer que la flèche H 1 (k, T ) →
H 1 (k, G) induite sur les ensembles de cohomologie galoisienne est triviale sur un
« gros » sous-groupe de H 1 (k, T ). C’est ce qui est fait au §6 sans faire recours
à l’invariant de Rost, ni d’ailleurs à la théorie de Bruhat-Tits. Ceci étant, on utilise
une notion proche de la théorie des groupes sur les corps locaux, à savoir l’étude des
classes de conjugaison des sous-groupes μ n de G. Un aspect technique important
est aussi l’utilisation des « groupes de normes » qui permettent de généraliser la
surjectivité des normes réduites.
Une fois établi l’énoncé clé sur l’image de H 1 (k, T ) → H 1 (k, G), on reprend
les méthodes de Kneser/Harder en faisant une récurrence sur les types de groupes.
Par rapport à l’article de 2001, il y a une simplification notable de la preuve de
l’énoncé clé ainsi que du cas quasi-déployé. Nous prenons l’occasion de discuter
aussi selon notre point de vue le cas des groupes classiques. Outre le gain sur les
petites caractéristiques, le résultat le plus saillant est l’avancée sur le type E 7 (§8.3).
Les types D 4 , E 6 et E 8 demeurent largement ouverts pour la conjecture II.
Nous avons rassemblé dans les deux premiers chapitres des faits généraux
qui ne dépendent pas d’hypothèse de dimension cohomologique. D’autres faits
complémentaires se trouvent dans l’étude des groupes classiques et exceptionnels. A
la fin, nous discutons les cas restants de la conjecture au regard de corps spécifiques
et sujets reliés.
Préface
2 n , n arbitrairement grand [131]. Il n’est pas surprenant que la complexité des
algèbres simples centrales liées aux groupes algébriques (i.e. algèbres de Tits)
intervienne de façon déterminante dans les énoncés. Donnons deux énoncés prédits
par la conjecture pour un corps k de dimension cohomologique séparable ≤ 2 (de
caractéristique = 2 pour le second).
(I) Si A est une algèbre simple centrale définie sur k, alors la norme réduite
Nrd A : A × → k × est surjective.
(II) Les formes quadratiques (de dim. finie) non dégénérées sur k sont classifiées
par leur rang, leur discriminant et leur invariant de Hasse-Witt.
L’assertion (I) a été établie en 1984 par Suslin, nous revenons dessus au §4.
L’assertion (II) a été établie par Merkurjev [3, prop. 2] en caractéristique =
2. La plus grande évidence pour la conjecture est qu’elle vaut d’après Bayer–
Fluckiger/Parimala pour les groupes classiques sur un corps parfait, ainsi que ceux
de type G 2 et F 4 [11]. Dans le cas de caractéristique 2, la conjecture II « étendue »
pour ces mêmes groupes a été établie par Berhuy/Frings/Tignol [15].
Sur les groupes exceptionnels restants (D 4 trialitaire, E 6 , E 7 , E 8 ), il n’y a que
des résultats partiels dus à Chernousov [38] et à l’auteur [77]. Le premier but de ce
livre est de remettre au goût du jour l’article [77] fondé sur la théorie de Bruhat-Tits
et l’invariant de Rost. Etant donné un groupe G/k satisfaisant les hypothèses de la
conjecture II et un k-tore maximal, il s’agit de montrer que la flèche H 1 (k, T ) →
H 1 (k, G) induite sur les ensembles de cohomologie galoisienne est triviale sur un
« gros » sous-groupe de H 1 (k, T ). C’est ce qui est fait au §6 sans faire recours
à l’invariant de Rost, ni d’ailleurs à la théorie de Bruhat-Tits. Ceci étant, on utilise
une notion proche de la théorie des groupes sur les corps locaux, à savoir l’étude des
classes de conjugaison des sous-groupes μ n de G. Un aspect technique important
est aussi l’utilisation des « groupes de normes » qui permettent de généraliser la
surjectivité des normes réduites.
Une fois établi l’énoncé clé sur l’image de H 1 (k, T ) → H 1 (k, G), on reprend
les méthodes de Kneser/Harder en faisant une récurrence sur les types de groupes.
Par rapport à l’article de 2001, il y a une simplification notable de la preuve de
l’énoncé clé ainsi que du cas quasi-déployé. Nous prenons l’occasion de discuter
aussi selon notre point de vue le cas des groupes classiques. Outre le gain sur les
petites caractéristiques, le résultat le plus saillant est l’avancée sur le type E 7 (§8.3).
Les types D 4 , E 6 et E 8 demeurent largement ouverts pour la conjecture II.
Nous avons rassemblé dans les deux premiers chapitres des faits généraux
qui ne dépendent pas d’hypothèse de dimension cohomologique. D’autres faits
complémentaires se trouvent dans l’étude des groupes classiques et exceptionnels. A
la fin, nous discutons les cas restants de la conjecture au regard de corps spécifiques
et sujets reliés.