Préface
Ce livre porte sur la conjecture II de Serre en cohomologie galoisienne non
abélienne des groupes algébriques, énoncée en 1962. Cette conjecture est fortement
liée à la classification des groupes algébriques semi-simples (et objets reliés, e.g.
formes hermitiennes) sur un corps parfait k de dimension cohomologique 2 (cf.
§2.2.4 et 9.4c). La conjecture énonce que tout espace principal homogène sous
un groupe algébrique semi-simple simplement connexe est trivial, i.e. admet un
point rationnel, voir §4.8. En d’autres mots, l’ensemble pointé de cohomologie
galoisienne H 1 (k, G) est trivial pour G un k-groupe semi-simple simplement
connexe défini sur un corps parfait de dimension cohomologique 2. La conjecture a
été étendue par Serre en 1994 au cas des corps imparfaits [158, §5], et est discutée
en détail au §4.8. On doit remplacer alors la condition cd(k) ≤ 2 par la condition
scd(k) ≤ 2 où scd(k) désigne la dimension cohomologique séparable de k (les
deux notions coïncident dans le cas parfait). On se place désormais dans la situation
générale.
Cette classe de corps comprend notamment les corps locaux, les corps de
nombres imaginaires purs ainsi que les corps de fonctions de surfaces algébriques
complexes, par exemple le corps de fractions rationnelles C(x, y). Il y a deux
points de vue complémentaires sur la conjecture: l’un est de travailler sur un corps
spécifique, l’autre sur une classe de groupes particuliers.
Le premier point de vue a été le premier considéré. Kneser (et Bruhat-Tits) ont
montré la conjecture II pour les corps p-adiques et Kneser/Harder/Chernousov pour
les corps de nombres imaginaires purs [32, 112]. Très récemment, de Jong/He/Starr
ont montré la conjecture pour le cas d’un corps de fonctions de surface définie sur
un corps algébriquement clos [57].
Le point de vue de ce livre est surtout le second où l’on travaille sur un corps
k de dimension cohomologique 2 avec des groupes algébriques d’un type fixé.
Nous signalons au lecteur que les corps précédents sont assez spécifiques. En
effet, pour ces corps, les algèbres simples centrales de période 2 dans le groupe
de Brauer sont équivalentes à des algèbres de quaternions. Ceci est à comparer
avec la construction par Merkurjev de corps de dimension cohomologique 2 avec
algèbres simples centrales de période 2 dans le groupe de Brauer qui sont d’indice
v
Ce livre porte sur la conjecture II de Serre en cohomologie galoisienne non
abélienne des groupes algébriques, énoncée en 1962. Cette conjecture est fortement
liée à la classification des groupes algébriques semi-simples (et objets reliés, e.g.
formes hermitiennes) sur un corps parfait k de dimension cohomologique 2 (cf.
§2.2.4 et 9.4c). La conjecture énonce que tout espace principal homogène sous
un groupe algébrique semi-simple simplement connexe est trivial, i.e. admet un
point rationnel, voir §4.8. En d’autres mots, l’ensemble pointé de cohomologie
galoisienne H 1 (k, G) est trivial pour G un k-groupe semi-simple simplement
connexe défini sur un corps parfait de dimension cohomologique 2. La conjecture a
été étendue par Serre en 1994 au cas des corps imparfaits [158, §5], et est discutée
en détail au §4.8. On doit remplacer alors la condition cd(k) ≤ 2 par la condition
scd(k) ≤ 2 où scd(k) désigne la dimension cohomologique séparable de k (les
deux notions coïncident dans le cas parfait). On se place désormais dans la situation
générale.
Cette classe de corps comprend notamment les corps locaux, les corps de
nombres imaginaires purs ainsi que les corps de fonctions de surfaces algébriques
complexes, par exemple le corps de fractions rationnelles C(x, y). Il y a deux
points de vue complémentaires sur la conjecture: l’un est de travailler sur un corps
spécifique, l’autre sur une classe de groupes particuliers.
Le premier point de vue a été le premier considéré. Kneser (et Bruhat-Tits) ont
montré la conjecture II pour les corps p-adiques et Kneser/Harder/Chernousov pour
les corps de nombres imaginaires purs [32, 112]. Très récemment, de Jong/He/Starr
ont montré la conjecture pour le cas d’un corps de fonctions de surface définie sur
un corps algébriquement clos [57].
Le point de vue de ce livre est surtout le second où l’on travaille sur un corps
k de dimension cohomologique 2 avec des groupes algébriques d’un type fixé.
Nous signalons au lecteur que les corps précédents sont assez spécifiques. En
effet, pour ces corps, les algèbres simples centrales de période 2 dans le groupe
de Brauer sont équivalentes à des algèbres de quaternions. Ceci est à comparer
avec la construction par Merkurjev de corps de dimension cohomologique 2 avec
algèbres simples centrales de période 2 dans le groupe de Brauer qui sont d’indice
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