INTRODUCTION
Les Théories spectrales visent à étudier les propriétés de certaines
algèbres normées, les exemples fondamentaux étant l’algèbre des fonctions continues à valeurs complexes sur un espace topologique, l’algèbre
des endomorphismes d’un espace de Banach et l’algèbre de convolution des fonctions intégrables par rapport à une mesure de Haar sur un
groupe localement compact. La portée de cette étude n’est pas nécessairement apparente par cette simple indication, mais il n’est besoin
pour en saisir l’importance que de constater que deux mathématiciens
contemporains, à moins qu’ils n’appartiennent à la même chapelle,
n’auront bien souvent comme connaissances communes, outre l’algèbre
linéaire et la partie élémentaire du calcul différentiel et intégral, que
certains aspects de l’analyse de Fourier.
Dans les deux premiers chapitres de ce Livre, nous développons
les idées les plus fondamentales des théories spectrales, et considérons
plus en détail le troisième exemple mentionné ci-dessus, autrement dit,
la transformation de Fourier, dans le cadre d’un groupe localement
compact commutatif.
Les chapitres suivants poursuivront d’abord la théorie générale
des applications linéaires compactes, puis celle des opérateurs sur les
espaces hilbertiens, ce cas incluant les applications linéaires définies
seulement sur un sous-espace (en général dense) d’un tel espace.
Comme on le sait, cette théorie est la base du formalisme mathématique de la Mécanique Quantique. Finalement, nous présenterons la
théorie élémentaire des représentations unitaires des groupes topologiques, notamment compacts, dont nous avons déjà eu à nous servir
dans le chapitre IX du Livre Groupes et algèbres de Lie.
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