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B Rappels mathématiques : combinatoire
B.3.4 Transformée d’Euler
La transformée d’Euler d’une fonction f analytique en 0 est définie par
f
∗ (z) =
1
1 − z
f
z
z − 1
.
(B.2)
On peut en déduire la relation entre les coefficients f ∗
n du développement en série
entière en 0 de f ∗ et ceux de f notés f n :
f
∗
p =
0≤n≤p
(−1)
n
p
n
f n .
La transformée d’Euler est une involution :
(f
∗ )
∗
= f,
et donc
f n =
0≤p≤n
(−1)
p
n
p
f
∗
p .
(B.3)
B.3.5 Fonctions implicites et formule d’inversion de Lagrange
Soit une fonction analytique en 0, telle que = φ 0 = 0 et soit F la fonction
définie par l’équation implicite
F (z) = zz(F (z)).
L’analyticité de F est due au théorème des fonctions implicites version analytique.
Une preuve de ce théorème se trouve dans tout livre d’analyse complexe, par
exemple Hille [130] et trois squelettes de preuve se trouvent dans le livre de Flajolet
et Sedgewick [94, p. 753–755].
Théorème B.6 (des fonctions implicites, version analytique) Soit G(z, w) =
m,n z m w n une fonction analytique de deux variables, ce qui signifie qu’elle admet
un développement en série convergent dans un polydisque |z| < R, |w| < S (R, S >
0) au voisinage de (0, 0). Supposons que G(0, 0) = 0 et que
∂G
∂w
(0, 0) = 0. Alors
il existe une unique fonction f , analytique dans un voisinage {|z| < ρ} de l’origine
et nulle en 0, telle que, pour tout |z| < ρ, G(z, w) = 0 ⇔ w = f (z).
B Rappels mathématiques : combinatoire
B.3.4 Transformée d’Euler
La transformée d’Euler d’une fonction f analytique en 0 est définie par
f
∗ (z) =
1
1 − z
f
z
z − 1
.
(B.2)
On peut en déduire la relation entre les coefficients f ∗
n du développement en série
entière en 0 de f ∗ et ceux de f notés f n :
f
∗
p =
0≤n≤p
(−1)
n
p
n
f n .
La transformée d’Euler est une involution :
(f
∗ )
∗
= f,
et donc
f n =
0≤p≤n
(−1)
p
n
p
f
∗
p .
(B.3)
B.3.5 Fonctions implicites et formule d’inversion de Lagrange
Soit une fonction analytique en 0, telle que = φ 0 = 0 et soit F la fonction
définie par l’équation implicite
F (z) = zz(F (z)).
L’analyticité de F est due au théorème des fonctions implicites version analytique.
Une preuve de ce théorème se trouve dans tout livre d’analyse complexe, par
exemple Hille [130] et trois squelettes de preuve se trouvent dans le livre de Flajolet
et Sedgewick [94, p. 753–755].
Théorème B.6 (des fonctions implicites, version analytique) Soit G(z, w) =
m,n z m w n une fonction analytique de deux variables, ce qui signifie qu’elle admet
un développement en série convergent dans un polydisque |z| < R, |w| < S (R, S >
0) au voisinage de (0, 0). Supposons que G(0, 0) = 0 et que
∂G
∂w
(0, 0) = 0. Alors
il existe une unique fonction f , analytique dans un voisinage {|z| < ρ} de l’origine
et nulle en 0, telle que, pour tout |z| < ρ, G(z, w) = 0 ⇔ w = f (z).