B Rappels mathématiques : combinatoire
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B.3.3 Asymptotique de coefficients et formule de Taylor
Le développement de Taylor à l’ordre p d’une fonction f (z) autour de l’origine est :
f (z) =
p
n=0
f
(n) (0)
z n
n!
+ O(z
p+1 ),
où f (n) (0) est la valeur de la n-ième dérivée de f au point 0.
Nous rencontrons souvent des fonctions du type (1 + z) α pour un réel α ; il est
donc utile de connaître les formules les plus courantes :
[z
n
](1 + z)
α
=
1
n!
α(α − 1) . . . (α − n + 1).
Lorsque α est entier positif, on retrouve la formule du binôme : [z n ](1 + z) α =
α
n
.
Et la notation
α
n
est généralisée à tout α ∈ C en posant
α
n
=
1
n!
α(α − 1) . . . (α − n + 1).
Pour tout α ∈ C \ Z − non entier négatif ou nul, une variante fait intervenir la
fonction :
[z
n
](1 − z)
−α
=
n + α − 1
n
=
(n + α)
)(n + 1)
.
Les deux formules suivantes sont fréquemment rencontrées :
[z
n
]
√
1 − z = −
(2n − 2)!
2 2n−1 n!(n − 1)!
= −
C n−1
2 2n−1 ∼
−1
2n
√
πn
(α = 1/2);
[z
n
]
1
√
1 − z
=
1
4 n
2n
n
=
(n + 1)C n
4 n
∼
1
√
πn
(α = −1/2),
où C n désigne le n-ième nombre de Catalan C n =
1
n + 1
2n
n
. Ces formules sont
des cas particuliers de celles obtenues par le lemme de transfert de la section B.3.6.