B Rappels mathématiques : combinatoire
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L’intérêt de cette formule est qu’elle exprime le coefficient de z n dans C à l’aide
d’une formule intégrale. Grâce à cette formule, une étude fine des singularités (i.e.,
les endroits où la fonction C(z) cesse d’être analytique) donne des informations
sur le comportement asymptotique de la suite (c n ). De plus, les séries génératrices
rencontrées, de par leur nature combinatoire, sont très particulières. Par exemple
les coefficients sont tous positifs ou nuls puisqu’ils comptent des objets, d’où l’on
déduit l’existence d’une (peut-être pas unique) singularité dominante (de plus petit
module) réelle positive ; cela est assuré par le théorème de Pringsheim.
Théorème B.2 (Pringsheim) Soit f une fonction analytique en 0, dont le
développement en série entière en 0 est à coefficients tous positifs ou nuls, et a
pour rayon de convergence R. Alors z = R est une singularité de f .
En faisant passer le contour d’intégration près de cette singularité dominante, et
sous certaines conditions très générales (une seule singularité de plus petit module),
on obtient des résultats qui permettent de relier le comportement asymptotique des
coefficients avec le comportement de la fonction au voisinage de la singularité.
Il arrive que la nature des singularités rencontrées ne permette pas d’appliquer
cette méthode. C’est le cas notamment lorsque au voisinage de la singularité la
fonction croît de manière exponentielle ou lorsque la singularité dominante n’est
pas isolée. On a alors recours à une analyse suivant la « méthode de col » pour
obtenir l’asymptotique des coefficients.
L’une des applications de la formule de Cauchy est la formule des résidus cidessous explicitée dans le théorème B.5 dit théorème des résidus. Dans la formule
de Cauchy telle qu’elle est énoncée plus haut, on intègre le long d’un lacet simple et
dans le sens direct. Ceci se généralise en utilisant la définition suivante de l’indice
d’un point relatif à un lacet.
Proposition-Définition B.3 Soit γ un lacet du plan complexe. Alors, pour tout z
hors du support de γ , le nombre
Ind γ (z) :=
1
2iπ
γ
dζ
ζ − z
est un entier relatif. Cette fonction est constante sur les composantes connexes du
complémentaire du support de γ , nulle sur la composante connexe qui n’est pas
bornée. Ce nombre est appelé indice de z par rapport à γ . Lorsque γ est un cercle
centré en z simple et orienté dans le sens direct, Ind γ (z) = 1. Plus généralement,
Ind γ (z) compte le nombre de tours – signe compris – que fait γ autour du point z.
Définition B.4 Soit f une fonction holomorphe sur un disque épointé D \ {a} de
C. Le résidu de f en a, qu’on notera Res(f, a) est le nombre défini par n’importe
quelle des propriétés suivantes :
(i) Res(f, a) = c −1 où f (z) =
n∈Z
c n (z − a)
n le développement en série de
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L’intérêt de cette formule est qu’elle exprime le coefficient de z n dans C à l’aide
d’une formule intégrale. Grâce à cette formule, une étude fine des singularités (i.e.,
les endroits où la fonction C(z) cesse d’être analytique) donne des informations
sur le comportement asymptotique de la suite (c n ). De plus, les séries génératrices
rencontrées, de par leur nature combinatoire, sont très particulières. Par exemple
les coefficients sont tous positifs ou nuls puisqu’ils comptent des objets, d’où l’on
déduit l’existence d’une (peut-être pas unique) singularité dominante (de plus petit
module) réelle positive ; cela est assuré par le théorème de Pringsheim.
Théorème B.2 (Pringsheim) Soit f une fonction analytique en 0, dont le
développement en série entière en 0 est à coefficients tous positifs ou nuls, et a
pour rayon de convergence R. Alors z = R est une singularité de f .
En faisant passer le contour d’intégration près de cette singularité dominante, et
sous certaines conditions très générales (une seule singularité de plus petit module),
on obtient des résultats qui permettent de relier le comportement asymptotique des
coefficients avec le comportement de la fonction au voisinage de la singularité.
Il arrive que la nature des singularités rencontrées ne permette pas d’appliquer
cette méthode. C’est le cas notamment lorsque au voisinage de la singularité la
fonction croît de manière exponentielle ou lorsque la singularité dominante n’est
pas isolée. On a alors recours à une analyse suivant la « méthode de col » pour
obtenir l’asymptotique des coefficients.
L’une des applications de la formule de Cauchy est la formule des résidus cidessous explicitée dans le théorème B.5 dit théorème des résidus. Dans la formule
de Cauchy telle qu’elle est énoncée plus haut, on intègre le long d’un lacet simple et
dans le sens direct. Ceci se généralise en utilisant la définition suivante de l’indice
d’un point relatif à un lacet.
Proposition-Définition B.3 Soit γ un lacet du plan complexe. Alors, pour tout z
hors du support de γ , le nombre
Ind γ (z) :=
1
2iπ
γ
dζ
ζ − z
est un entier relatif. Cette fonction est constante sur les composantes connexes du
complémentaire du support de γ , nulle sur la composante connexe qui n’est pas
bornée. Ce nombre est appelé indice de z par rapport à γ . Lorsque γ est un cercle
centré en z simple et orienté dans le sens direct, Ind γ (z) = 1. Plus généralement,
Ind γ (z) compte le nombre de tours – signe compris – que fait γ autour du point z.
Définition B.4 Soit f une fonction holomorphe sur un disque épointé D \ {a} de
C. Le résidu de f en a, qu’on notera Res(f, a) est le nombre défini par n’importe
quelle des propriétés suivantes :
(i) Res(f, a) = c −1 où f (z) =
n∈Z
c n (z − a)
n le développement en série de