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B Rappels mathématiques : combinatoire
B.3 Analyse complexe
B.3.1 Séries de la variable complexe
Le point de vue de la combinatoire analytique est de regarder les séries génératrices
non plus comme des séries formelles mais comme des fonctions de la variable
complexe. On se référera utilement au livre de Flajolet et Sedgewick [94] pour des
explications détaillées.
Une fonction définie sur un ouvert de C est dite analytique (on dit aussi
holomorphe) en un nombre complexe ζ de cet ouvert lorsqu’elle est développable
en série entière en ζ , ce qui signifie qu’elle est égale à sa série de Taylor en ζ sur
un voisinage de ζ . Autrement dit, il existe un disque D centré en ζ tel que pour tout
z ∈ D, la série de Taylor converge et
f (z) =
n≥0
f (n) (ζ )
n!
(z − ζ )
n .
Lorsqu’une fonction f est holomorphe sur un disque centré en ζ privé du point ζ , et
lorsqu’il existe un entier m ≥ 1 tel que (z − ζ ) m f (z) soit bornée donc holomorphe
au voisinage de ζ , on appelle k le plus petit entier m tel que (z − ζ ) m f (z) soit
bornée au voisinage de ζ , et l’on dit alors que f a un pôle d’ordre k en ζ et que f
est méromorphe en ζ . Le développement en série de Laurent au voisinage du pôle
s’écrit
f (z) =
+∞
n=−k
c n (z − ζ )
n ,
avec c −k = 0. La partie singulière de f en z = ζ est
−1
n=−k
c n (z − ζ )
n .
Pour une fonction C analytique en 0 et pour tout entier n ≥ 0, on extrait le
coefficient c n = [z n ]C(z) grâce à la formule de Cauchy.
Théorème B.1 (Formule de Cauchy) Soit C(z) une fonction analytique dans une
région V simplement connexe de C contenant l’origine et une courbe simple
fermée, orientée dans le sens direct, à l’intérieur de V, qui encercle 0. On a
[z
n
]C(z) =
1
2iπ
C(z)
dz
z n+1 .
B Rappels mathématiques : combinatoire
B.3 Analyse complexe
B.3.1 Séries de la variable complexe
Le point de vue de la combinatoire analytique est de regarder les séries génératrices
non plus comme des séries formelles mais comme des fonctions de la variable
complexe. On se référera utilement au livre de Flajolet et Sedgewick [94] pour des
explications détaillées.
Une fonction définie sur un ouvert de C est dite analytique (on dit aussi
holomorphe) en un nombre complexe ζ de cet ouvert lorsqu’elle est développable
en série entière en ζ , ce qui signifie qu’elle est égale à sa série de Taylor en ζ sur
un voisinage de ζ . Autrement dit, il existe un disque D centré en ζ tel que pour tout
z ∈ D, la série de Taylor converge et
f (z) =
n≥0
f (n) (ζ )
n!
(z − ζ )
n .
Lorsqu’une fonction f est holomorphe sur un disque centré en ζ privé du point ζ , et
lorsqu’il existe un entier m ≥ 1 tel que (z − ζ ) m f (z) soit bornée donc holomorphe
au voisinage de ζ , on appelle k le plus petit entier m tel que (z − ζ ) m f (z) soit
bornée au voisinage de ζ , et l’on dit alors que f a un pôle d’ordre k en ζ et que f
est méromorphe en ζ . Le développement en série de Laurent au voisinage du pôle
s’écrit
f (z) =
+∞
n=−k
c n (z − ζ )
n ,
avec c −k = 0. La partie singulière de f en z = ζ est
−1
n=−k
c n (z − ζ )
n .
Pour une fonction C analytique en 0 et pour tout entier n ≥ 0, on extrait le
coefficient c n = [z n ]C(z) grâce à la formule de Cauchy.
Théorème B.1 (Formule de Cauchy) Soit C(z) une fonction analytique dans une
région V simplement connexe de C contenant l’origine et une courbe simple
fermée, orientée dans le sens direct, à l’intérieur de V, qui encercle 0. On a
[z
n
]C(z) =
1
2iπ
C(z)
dz
z n+1 .