9.3 Etude probabiliste dynamique
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visible dans le théorème 9.8. Dans la suite, nous désignerons indifféremment par la
même lettre un endomorphisme de R k et sa matrice dans la base canonique.
9.3.1 Etude en moyenne
En itérant l’expression dans (9.4) à partir de Y 0 , nous trouvons
EY n = Y 0 γ n (R)
(9.5)
où γ n est le polynôme défini par
γ n (t) =
n−1
k=0
1 +
t
|Y 0 | + k
.
(9.6)
Supposons ici que la matrice R soit diagonalisable. Si elle ne l’est pas, l’étude
est plus compliquée et peut être trouvée dans Pouyanne [213] : la matrice R
se décompose suivant sa forme de Jordan et apparaissent des endomorphismes
nilpotents introduisant des termes en log n dans l’asymptotique.
Revenons au cas diagonalisable et appelons Sp(R) l’ensemble des valeurs
propres de R ; pour chaque valeur propre λ, appelons π λ la projection sur le sousespace propre associé à la valeur propre λ, parallèlement à la somme des autres
espaces propres. Alors
R =
λ∈Sp(R)
λ π λ
et
γ n (R) =
λ∈Sp(R)
γ n (λ)π λ .
Ainsi avec (9.5),
EY n = Y 0 γ n (R) =
λ∈Sp(R)
γ n (λ)Y 0 π λ .
(9.7)
Comme le comportement asymptotique des γ n (λ) est donné par la formule de
Stirling (voir l’équation (B.4) dans l’annexe B.5.1)
γ n (λ) =
n−1
k=0
1 +
λ
|Y 0 | + k
= n
λ
0 |)
0 | + λ)
+ O
1
n
(9.8)