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9 Urnes de Pólya et applications
résultat. Les détails des calculs se trouvent dans la thèse de Morcrette [187], avec
des liens entre ce décompte et les records d’une permutation. 4
9.3 Etude probabiliste dynamique
Nous considérons des urnes équilibrées, de balance S > 0. Précisons que lorsque la
balance est nulle, la méthode qui suit pourrait se développer de manière analogue,
mais le comportement asymptotique serait différent. Lorsque S > 0, ramenons-nous
à S = 1 de la manière suivante. Divisons par S le vecteur composition Y n ainsi que
les coefficients de la matrice de remplacement R, qui deviennent donc rationnels.
Le processus obtenu est à valeurs dans R k , c’est un « processus de Pólya » au sens
de Pouyanne [213]. Nous considérons dans la suite une matrice de remplacement R
de balance 1, sous conditions suffisantes de viabilité détaillées plus haut, de sorte
que la composition de l’urne obéit à la transition
P(Y n+1 = Y n + i |Y n ) =
Y
(i)
n
|Y 0 | + n
,
(9.3)
où nous rappelons que les Y
(i)
n sont les coordonnées du vecteur Y n , que |Y 0 | :=
k
i=1 Y
(i)
0 est le nombre de boules initialement dans l’urne et que les vecteurs
i , i = 1, . . . , k sont les vecteurs lignes de la matrice R. La suite (Y n ) est une
marche aléatoire à valeurs dans R k , d’état initial Y 0 et d’incréments i .
Prenons l’espérance conditionnelle de Y n+1 sachant F n , le passé avant n (voir la
section C.7 pour l’espérance conditionnelle). D’après (9.3), 5
E
Y n+1
Fn
= Y n +
k
i=1
Y
(i)
n
|Y 0 | + n
i
et donc
E
Y n+1
Fn
= Y n
I +
R
|Y 0 | + n
.
(9.4)
L’expression de cette espérance conditionnelle est presque une propriété de martingale (ce serait le cas si nous avions Y n dans le membre de droite) ; la martingale sera
4 Il y a en outre dans cette thèse d’autres applications de la méthode combinatoire analytique aux
urnes.
5 Dans la suite, Y n désigne un vecteur « ligne » de taille k, I désigne la matrice identité de taille k
et R est la matrice de remplacement, de taille k.
9 Urnes de Pólya et applications
résultat. Les détails des calculs se trouvent dans la thèse de Morcrette [187], avec
des liens entre ce décompte et les records d’une permutation. 4
9.3 Etude probabiliste dynamique
Nous considérons des urnes équilibrées, de balance S > 0. Précisons que lorsque la
balance est nulle, la méthode qui suit pourrait se développer de manière analogue,
mais le comportement asymptotique serait différent. Lorsque S > 0, ramenons-nous
à S = 1 de la manière suivante. Divisons par S le vecteur composition Y n ainsi que
les coefficients de la matrice de remplacement R, qui deviennent donc rationnels.
Le processus obtenu est à valeurs dans R k , c’est un « processus de Pólya » au sens
de Pouyanne [213]. Nous considérons dans la suite une matrice de remplacement R
de balance 1, sous conditions suffisantes de viabilité détaillées plus haut, de sorte
que la composition de l’urne obéit à la transition
P(Y n+1 = Y n + i |Y n ) =
Y
(i)
n
|Y 0 | + n
,
(9.3)
où nous rappelons que les Y
(i)
n sont les coordonnées du vecteur Y n , que |Y 0 | :=
k
i=1 Y
(i)
0 est le nombre de boules initialement dans l’urne et que les vecteurs
i , i = 1, . . . , k sont les vecteurs lignes de la matrice R. La suite (Y n ) est une
marche aléatoire à valeurs dans R k , d’état initial Y 0 et d’incréments i .
Prenons l’espérance conditionnelle de Y n+1 sachant F n , le passé avant n (voir la
section C.7 pour l’espérance conditionnelle). D’après (9.3), 5
E
Y n+1
Fn
= Y n +
k
i=1
Y
(i)
n
|Y 0 | + n
i
et donc
E
Y n+1
Fn
= Y n
I +
R
|Y 0 | + n
.
(9.4)
L’expression de cette espérance conditionnelle est presque une propriété de martingale (ce serait le cas si nous avions Y n dans le membre de droite) ; la martingale sera
4 Il y a en outre dans cette thèse d’autres applications de la méthode combinatoire analytique aux
urnes.
5 Dans la suite, Y n désigne un vecteur « ligne » de taille k, I désigne la matrice identité de taille k
et R est la matrice de remplacement, de taille k.