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7 Arbres digitaux
Fig. 7.8 Les différentes régions sans pôles du plan complexe pour définir différents types
de domestication. De gauche à droite : bande sans pôles, bande sans pôles avec des pôles
périodiquement disposés sur une droite verticale, région sans pôle de forme hyperbolique
croissance polynomiale pour |(s)| → ∞, i.e., lorsque nous nous éloignons de
l’axe réel pour remplir les conditions d’application de la formule de Nörlund-Rice.
Nous disons alors que la fonction (s) est « domestiquée » 8 sur une certaine région
R. Voir la figure 7.8 pour une représentation schématique de ces situations : « bande
sans pôles », « bande sans pôles avec pôles disposés périodiquement sur une droite
verticale » et « région sans pôle de forme hyperbolique ». Pour plus de détails, nous
renvoyons à [246] et [48].
Remarquons que d’après l’équation (7.35), le terme dominant de l’asymptotique
provient des pôles dans la région R (par un calcul de résidus) et que le terme d’erreur
est induit par l’évaluation de l’intégrale le long d’un chemin 2 à l’intérieur de R.
Pour avoir un résultat assez général, il est essentiel de comprendre comment
les propriétés de la série de Dirichlet de la source (s) permettent de garantir
que la série (s) est bien domestiquée. Nous introduisons donc différentes notions
(plus ou moins fortes) de domestication pour une source probabilisée. Pour plus de
détails, nous engageons le lecteur à consulter les articles [33, 47, 48, 105, 226, 245].
Cette notion de domestication pour les sources est adaptée à notre cadre puisqu’elle
correspond à des situations où la série (s) est effectivement domestiquée sur un
domaine R bien précis comme ceux de la figure 7.8.
Pour les séries que nous souhaitons analyser, nous aurons surtout besoin de la
propriété suivante. Par définition, une source domestiquée possède une série de
Dirichlet qui admet un développement en série de Laurent 9 près de sa singularité
8 Selon les auteurs, on parle aussi de série disciplinée ou apprivoisée (en anglais tame). Ces termes
signifient simplement que la série admet un domaine où ses pôles et son comportement analytique
obéissent à un certain schéma.
9 Bien sûr nous pourrions être plus précis et donner un développement à un ordre supérieur si
nous souhaitions évaluer les termes d’erreur ou les termes sous-dominants du développement
asymptotique.
7 Arbres digitaux
Fig. 7.8 Les différentes régions sans pôles du plan complexe pour définir différents types
de domestication. De gauche à droite : bande sans pôles, bande sans pôles avec des pôles
périodiquement disposés sur une droite verticale, région sans pôle de forme hyperbolique
croissance polynomiale pour |(s)| → ∞, i.e., lorsque nous nous éloignons de
l’axe réel pour remplir les conditions d’application de la formule de Nörlund-Rice.
Nous disons alors que la fonction (s) est « domestiquée » 8 sur une certaine région
R. Voir la figure 7.8 pour une représentation schématique de ces situations : « bande
sans pôles », « bande sans pôles avec pôles disposés périodiquement sur une droite
verticale » et « région sans pôle de forme hyperbolique ». Pour plus de détails, nous
renvoyons à [246] et [48].
Remarquons que d’après l’équation (7.35), le terme dominant de l’asymptotique
provient des pôles dans la région R (par un calcul de résidus) et que le terme d’erreur
est induit par l’évaluation de l’intégrale le long d’un chemin 2 à l’intérieur de R.
Pour avoir un résultat assez général, il est essentiel de comprendre comment
les propriétés de la série de Dirichlet de la source (s) permettent de garantir
que la série (s) est bien domestiquée. Nous introduisons donc différentes notions
(plus ou moins fortes) de domestication pour une source probabilisée. Pour plus de
détails, nous engageons le lecteur à consulter les articles [33, 47, 48, 105, 226, 245].
Cette notion de domestication pour les sources est adaptée à notre cadre puisqu’elle
correspond à des situations où la série (s) est effectivement domestiquée sur un
domaine R bien précis comme ceux de la figure 7.8.
Pour les séries que nous souhaitons analyser, nous aurons surtout besoin de la
propriété suivante. Par définition, une source domestiquée possède une série de
Dirichlet qui admet un développement en série de Laurent 9 près de sa singularité
8 Selon les auteurs, on parle aussi de série disciplinée ou apprivoisée (en anglais tame). Ces termes
signifient simplement que la série admet un domaine où ses pôles et son comportement analytique
obéissent à un certain schéma.
9 Bien sûr nous pourrions être plus précis et donner un développement à un ordre supérieur si
nous souhaitions évaluer les termes d’erreur ou les termes sous-dominants du développement
asymptotique.