7.2 Analyses asymptotiques
321
Dans les deux cas, nous avons écrit l’espérance sous la forme
k≥2
(−1)
k
n
k
ϕ(k),
(7.36)
avec selon le cas
ϕ(k) =
(k − 1))(k) pour la taille,
kk(k)
pour la longueur de cheminement,
et (s) la série de Dirichlet de la source
(s) =
w∈A
∗
p
s
w .
Relèvement analytique Il ne reste plus qu’à appliquer la formule de Rice. Nous
avons besoin de considérer un relèvement analytique de la suite (ϕ(k)), c’est-à-dire
une fonction analytique (s) qui coïncide avec ϕ(k) aux valeurs entières s = k
dans la somme (7.36).
En règle générale, il n’est pas aisé de trouver un prolongement analytique 7 d’une
suite quelconque. Mais ici un prolongement analytique trivial est donné par
(s) =
(s − 1))(s) (taille),
ss(s)
(longueur de cheminement).
Propriétés de la série (s) Il ne reste maintenant qu’à faire un calcul de résidu
pour conclure, ce qui nécessite d’examiner les singularités de (s).
Lorsque la source est supposée générale, nous n’avons aucune garantie sur le
comportement analytique sur la série (s), elle-même reliée d’assez près aux
propriétés de (s).
Pour les sources usuelles (sans mémoire, chaîne de Markov) il existe trois
types principaux de régions R où de bonnes propriétés de (s) rendent possible
l’application de la formule de Rice et le fait de pouvoir décaler la droite verticale
d’intégration vers la gauche. Plus précisément, nous avons besoin, pour l’application
de la formule de Rice, d’une région où les pôles de (s) sont bien identifiés :
un pôle d’un certain ordre k en une certaine abscisse qui sera ici l’abscisse σ 0 ,
d’éventuels autres pôles mais qui laissent de « l’espace pour respirer » au pôle
dominant : soit des pôles périodiquement espacés sur la droite d’abscisse σ 0 et
garantissant une bande sans pôles – nous nommerons alors la source périodique
– , soit une région hyperbolique sans pôles. De plus la fonction (s) doit être de
7 De manière un peu surprenante au premier abord, il peut y avoir plusieurs relèvements analytiques
d’une même fonction. Cela ne change rien à la validité de la formule de Nörlund-Rice.
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Dans les deux cas, nous avons écrit l’espérance sous la forme
k≥2
(−1)
k
n
k
ϕ(k),
(7.36)
avec selon le cas
ϕ(k) =
(k − 1))(k) pour la taille,
kk(k)
pour la longueur de cheminement,
et (s) la série de Dirichlet de la source
(s) =
w∈A
∗
p
s
w .
Relèvement analytique Il ne reste plus qu’à appliquer la formule de Rice. Nous
avons besoin de considérer un relèvement analytique de la suite (ϕ(k)), c’est-à-dire
une fonction analytique (s) qui coïncide avec ϕ(k) aux valeurs entières s = k
dans la somme (7.36).
En règle générale, il n’est pas aisé de trouver un prolongement analytique 7 d’une
suite quelconque. Mais ici un prolongement analytique trivial est donné par
(s) =
(s − 1))(s) (taille),
ss(s)
(longueur de cheminement).
Propriétés de la série (s) Il ne reste maintenant qu’à faire un calcul de résidu
pour conclure, ce qui nécessite d’examiner les singularités de (s).
Lorsque la source est supposée générale, nous n’avons aucune garantie sur le
comportement analytique sur la série (s), elle-même reliée d’assez près aux
propriétés de (s).
Pour les sources usuelles (sans mémoire, chaîne de Markov) il existe trois
types principaux de régions R où de bonnes propriétés de (s) rendent possible
l’application de la formule de Rice et le fait de pouvoir décaler la droite verticale
d’intégration vers la gauche. Plus précisément, nous avons besoin, pour l’application
de la formule de Rice, d’une région où les pôles de (s) sont bien identifiés :
un pôle d’un certain ordre k en une certaine abscisse qui sera ici l’abscisse σ 0 ,
d’éventuels autres pôles mais qui laissent de « l’espace pour respirer » au pôle
dominant : soit des pôles périodiquement espacés sur la droite d’abscisse σ 0 et
garantissant une bande sans pôles – nous nommerons alors la source périodique
– , soit une région hyperbolique sans pôles. De plus la fonction (s) doit être de
7 De manière un peu surprenante au premier abord, il peut y avoir plusieurs relèvements analytiques
d’une même fonction. Cela ne change rien à la validité de la formule de Nörlund-Rice.