7.2 Analyses asymptotiques
315
permet d’obtenir pour tout r > 1, quand j → +∞, que
f
(σ + iT j )
=
+ σ + iT j )
= O(|s|
−r ).
Le théorème B.16 s’applique : F (x) converge sur ]0, +∞[. La partie singulière (voir
la définition B.13 de l’annexe B.4 et la notation ‘’) de F (s) = (s) s’écrit
F
(s)
1
log 2
1
(s − 1) 2 −(
1
2
+
γ
log 2
)
1
s − 1
+
k∈Z
1
log 2
− χ k )
s − χ k
(s ∈ −3/2, δ),
où γ désigne la constante d’Euler. Il faut pour la calculer se rappeler que
=
1
s
− γ + O(s)
(s → 0),
(1 − 2
−s )
−1
=
1
log 2
1
s
+
1
2
+ O(s)
(s → 0).
Nous obtenons alors le développement de F (x) quand x → +∞ et donc le
développement asymptotique de ˜
L n (correspondant à celui de la proposition 7.30)
˜
L n =
1
log 2
n log n +
1
2
+
γ
log 2
n +
n
log 2
P (log 2 n) + O(n
−δ ),
où P est un polynôme et P (log 2 x) regroupe les termes imaginaires liés aux χ k :
P (log 2 x) =
k∈Z
2ikπ
log 2
e
−2kπ log 2 (x) .
Du fait de la forte décroissance de
2ikπ
log 2
quand k → +∞,
P (log 2 x)
est
majoré par 10 −6 .
7.2.3 Paramètres additifs : formule de Nörlund-Rice
Nous nous plaçons dans le cadre (plus général que ceux des sections précédentes)
des sources et commençons par introduire dans le prochain paragraphe un outil
essentiel pour l’étude asymptotique : la série génératrice de Dirichlet des probabilités fondamentales. Cet outil aurait également pu être utilisé pour l’analyse
asymptotique à l’aide de la transformée de Mellin pour le modèle de source
(voir [46]). Nous avons préféré présenter la transformée de Mellin dans le cadre
classique du modèle infini i.i.d uniforme binaire.
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permet d’obtenir pour tout r > 1, quand j → +∞, que
f
(σ + iT j )
=
+ σ + iT j )
= O(|s|
−r ).
Le théorème B.16 s’applique : F (x) converge sur ]0, +∞[. La partie singulière (voir
la définition B.13 de l’annexe B.4 et la notation ‘’) de F (s) = (s) s’écrit
F
(s)
1
log 2
1
(s − 1) 2 −(
1
2
+
γ
log 2
)
1
s − 1
+
k∈Z
1
log 2
− χ k )
s − χ k
(s ∈ −3/2, δ),
où γ désigne la constante d’Euler. Il faut pour la calculer se rappeler que
=
1
s
− γ + O(s)
(s → 0),
(1 − 2
−s )
−1
=
1
log 2
1
s
+
1
2
+ O(s)
(s → 0).
Nous obtenons alors le développement de F (x) quand x → +∞ et donc le
développement asymptotique de ˜
L n (correspondant à celui de la proposition 7.30)
˜
L n =
1
log 2
n log n +
1
2
+
γ
log 2
n +
n
log 2
P (log 2 n) + O(n
−δ ),
où P est un polynôme et P (log 2 x) regroupe les termes imaginaires liés aux χ k :
P (log 2 x) =
k∈Z
2ikπ
log 2
e
−2kπ log 2 (x) .
Du fait de la forte décroissance de
2ikπ
log 2
quand k → +∞,
P (log 2 x)
est
majoré par 10 −6 .
7.2.3 Paramètres additifs : formule de Nörlund-Rice
Nous nous plaçons dans le cadre (plus général que ceux des sections précédentes)
des sources et commençons par introduire dans le prochain paragraphe un outil
essentiel pour l’étude asymptotique : la série génératrice de Dirichlet des probabilités fondamentales. Cet outil aurait également pu être utilisé pour l’analyse
asymptotique à l’aide de la transformée de Mellin pour le modèle de source
(voir [46]). Nous avons préféré présenter la transformée de Mellin dans le cadre
classique du modèle infini i.i.d uniforme binaire.