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7 Arbres digitaux
Fig. 7.6 Situation des pôles et de la bande fondamentale dans le plan complexe
pour k ∈ Z. La figure 7.6 précise les conditions d’application du théorème (les
pôles sont représentés par des points). Appliquons le théorème B.16 des sommes
harmoniques de l’annexe B.4.4 :
– La fonction f a pour bande fondamentale −2, −1 ;
– La fonction a pour demi-plan de convergence simple (s) < −1 d’intersection
non vide avec −2, −1 ;
– Les fonctions et f admettent un prolongement méromorphe sur C et sont
analytiques sur (s) = δ pour tout réel δ < −1 ;
– Soit δ < 1. Considérons la suite (T j ) définie par
T j =
(2j + 1)π
log 2
.
Sur la réunion des segments
{s ∈ C | |(s) ∈ [−
3
2
, δ] et (s) = T j },
qui est définie pour éviter les pôles de , nous avons pour s = σ + iT j ,
+ iT j )
=
1
1 + 2 1+σ iT j
≤
1
1 + 2 1−3/2 = O(|s|
0 ),
quand j → +∞. De plus, la version complexe de la formule de Stirling
|(σ + it)| ∼
√
2π |t|
σ −1/2 e
−π|t |/2
(t → +∞),
7 Arbres digitaux
Fig. 7.6 Situation des pôles et de la bande fondamentale dans le plan complexe
pour k ∈ Z. La figure 7.6 précise les conditions d’application du théorème (les
pôles sont représentés par des points). Appliquons le théorème B.16 des sommes
harmoniques de l’annexe B.4.4 :
– La fonction f a pour bande fondamentale −2, −1 ;
– La fonction a pour demi-plan de convergence simple (s) < −1 d’intersection
non vide avec −2, −1 ;
– Les fonctions et f admettent un prolongement méromorphe sur C et sont
analytiques sur (s) = δ pour tout réel δ < −1 ;
– Soit δ < 1. Considérons la suite (T j ) définie par
T j =
(2j + 1)π
log 2
.
Sur la réunion des segments
{s ∈ C | |(s) ∈ [−
3
2
, δ] et (s) = T j },
qui est définie pour éviter les pôles de , nous avons pour s = σ + iT j ,
+ iT j )
=
1
1 + 2 1+σ iT j
≤
1
1 + 2 1−3/2 = O(|s|
0 ),
quand j → +∞. De plus, la version complexe de la formule de Stirling
|(σ + it)| ∼
√
2π |t|
σ −1/2 e
−π|t |/2
(t → +∞),