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6 Arbres binaires de recherche
Fig. 6.5 Le domaine est
l’enveloppe convexe des
courbes qui limitent q . Ici
les courbes sont dessinées
pour q = 1,2 (en violet),
q = 1,1 (en vert), q = 1,01
(en bleu) et q = 1,001 (en
rouge)
Preuve (idées) La propriété de martingale vient du calcul d’espérance conditionnelle de W τ n (z) qui donne (6.9), de sorte que :
E(M n+1 (z)
τ n ) = E
W τ n+1 (z)
γ n+1 (2z − 1)
τ n
=
1 +
2z − 1
n + 1
W τ n (z)
γ n+1 (2z − 1)
= M n (z).
De plus, en prenant l’espérance dans l’égalité (6.9), nous obtenons
E(W τ n (z)) =
n−1
j =0
j + 2z
j + 1
= γ n (2z − 1).
(i) La convergence presque sûre dans R + est celle de toute martingale positive.
(ii) La convergence dans L 2 pour z dans C s’obtient en calculant la variance de la
martingale et avec un peu d’analyse complexe (cf. [37] et l’exercice 6.4).
(iii) et (iv) La convergence dans L 1 est plus difficile à voir. Elle est obtenue en
bornant M n (z) dans L p pour p > 1, de façon assez analogue à la méthode
utilisée pour un processus de branchement spatial. Les détails sont dans
Jabbour-Hattab [139]. La convergence dans L 1 pour un paramètre z ∈ C
et la convergence aux points critiques s’obtiennent par plongement en temps
continu et se trouvent dans [39].
Remarque 6.9 Globalement, cette étude tire parti de l’égalité
W τ n (z) = M n (z) E(W τ n (z))