6.1 Analyses de la longueur de cheminement et du profil
229
Cette dernière équation indique que le polynôme de niveau convenablement renormalisé est une martingale (voir la section C.8 pour des rappels sur les martingales),
et conduit au théorème suivant, obtenu par Jabbour-Hattab [139]. Pour les différents
types de convergence qui y apparaissent, voir la section C.6.
Théorème 6.8 (martingale de l’abr) Soit τ n un abr de taille n sous la loi Ord, et
soit W τ n son polynôme de niveau (voir la définition 6.5). Pour tout nombre complexe
z ∈ C tel que 2z = −k, k ∈ N, notons γ 0 (z) = 1 et pour n ≥ 1,
γ n (z) :=
n−1
j =0
1 +
z
j + 1
.
Alors le polynôme de niveau renormalisé
M n (z) :=
W τ n (z)
E(W τ n (z))
=
W τ n (z)
γ n (2z − 1)
est une F n -martingale d’espérance 1, qui s’écrit aussi
M n (z) :=
1
γ n (2z − 1)
u∈∂τ n
z
|u| ,
où ∂τ n est l’ensemble des feuilles de l’arbre τ n . De plus,
(i) cette martingale converge p.s. pour tout z réel positif.
(ii) Elle converge dans L 2 sur la boule B(1,
1
√
2
) de C.
(iii) Elle converge p.s. et dans L 1 sur tout compact du domaine du plan complexe
défini par
:=
1
q > 0}.
En particulier, elle converge p.s. et dans L 1 sur l’intersection de avec R qui
est l’intervalle réel ]c /2; c/2[, où les constantes c = 4,31107 . . . et c =
0,3733 . . . sont les deux solutions réelles positives de l’équation x log 2 + x −
x log x = 1.
(iv) Elle converge p.s. vers 0 pour tout z complexe hors de , en particulier pour
tout z réel hors de l’intervalle ]c /2; c/2[, y compris aux points critiques c /2
et c/2 (figure 6.5).
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Cette dernière équation indique que le polynôme de niveau convenablement renormalisé est une martingale (voir la section C.8 pour des rappels sur les martingales),
et conduit au théorème suivant, obtenu par Jabbour-Hattab [139]. Pour les différents
types de convergence qui y apparaissent, voir la section C.6.
Théorème 6.8 (martingale de l’abr) Soit τ n un abr de taille n sous la loi Ord, et
soit W τ n son polynôme de niveau (voir la définition 6.5). Pour tout nombre complexe
z ∈ C tel que 2z = −k, k ∈ N, notons γ 0 (z) = 1 et pour n ≥ 1,
γ n (z) :=
n−1
j =0
1 +
z
j + 1
.
Alors le polynôme de niveau renormalisé
M n (z) :=
W τ n (z)
E(W τ n (z))
=
W τ n (z)
γ n (2z − 1)
est une F n -martingale d’espérance 1, qui s’écrit aussi
M n (z) :=
1
γ n (2z − 1)
u∈∂τ n
z
|u| ,
où ∂τ n est l’ensemble des feuilles de l’arbre τ n . De plus,
(i) cette martingale converge p.s. pour tout z réel positif.
(ii) Elle converge dans L 2 sur la boule B(1,
1
√
2
) de C.
(iii) Elle converge p.s. et dans L 1 sur tout compact du domaine du plan complexe
défini par
:=
1
q > 0}.
En particulier, elle converge p.s. et dans L 1 sur l’intersection de avec R qui
est l’intervalle réel ]c /2; c/2[, où les constantes c = 4,31107 . . . et c =
0,3733 . . . sont les deux solutions réelles positives de l’équation x log 2 + x −
x log x = 1.
(iv) Elle converge p.s. vers 0 pour tout z complexe hors de , en particulier pour
tout z réel hors de l’intervalle ]c /2; c/2[, y compris aux points critiques c /2
et c/2 (figure 6.5).