132
4 Approche combinatoire
Finalement :
[z
n
]
∂ 2
∂u 2 (1, z) =
5
2
4
n
−
13
2
(n + 1) 4
n
−
1
2
2n
n
−
2n + 2
n + 1
+4
(2n + 1)!
(n!) 2 +
5
2
(2n + 3)!
6 n! (n + 1)!
=
2n
n
2(5n + 2)(n 2 + 5n + 3)
3(n + 1)
−
4 +
13n
2
4
n .
En divisant par C n =
2n
n
/(n + 1),
[z n ]
∂ 2
∂u 2 (1, z)
[z n ] z)
=
2
3
(5n + 2)(n
2
+ 5n + 3) − (n + 1)
4 +
13n
2
4 n
2n
n
.
En reportant ceci dans l’expression (4.11) et après quelques regroupements, nous
obtenons une expression exacte pour la variance :
σ
2 (lc(τ n )) =
10
3
n
3
+ 9 n
2
+
23
3
n + 2 −
(n + 1) (n + 2)
2
4 n
2n
n
− (n + 1)
2
4 n
2n
n
2
.
Il suffit alors d’utiliser la formule de Stirling pour obtenir un développement
asymptotique de la variance, que nous donnons ci-dessous avec un terme d’erreur 3
o(1) :
σ
2 (lc(τ n )) =
10 − 3π
3
n
3
−
√
π
2
n
2 √
n +
9(4 − π)
4
n
2
−
25
√
π
16
n
√
n
+
736 − 147π
96
n −
305
√
π
256
√
n + 2 −
39
128
π + O
1
√
n
.
Notons que le terme principal peut aussi s’obtenir par un résultat de Takács [240]
sur les équivalents asymptotiques des moments de la longueur de cheminement
(qu’il appelle « hauteur totale »). Remarquons aussi que si l’objectif est seulement
d’obtenir un développement asymptotique comme celui qui précède, il est possible
d’y parvenir directement à partir de (4.12) en développant les fonctions qui y
apparaissent.
3 Il n’est en général pas nécessaire d’avoir autant de précision. Notons néanmoins qu’il est possible
d’avoir un développement asymptotique complet, c’est-à-dire en allant à un ordre arbitrairement
grand.