4.1 Les arbres binaires
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et ce qui nous manque est le coefficient [z n ]
∂ 2
∂u 2 (1, z). Nous avons donc à calculer
la dérivée seconde
∂ 2
∂u 2 et à l’évaluer en u = 1 ; compte tenu de
∂ 2
∂u ∂z (1, z) = L (z),
nous obtenons à partir de (4.10)
∂ 2
∂u 2 (1, z) =
2z(L(z) + zC
(z)) 2 + 4z 2 C(z)L
(z) + 2z 3 C(z)C
(z)
1 − 2zC(z)
,
ce qui donne, en remplaçant les fonctions C(z) et L(z) par leurs valeurs et en
simplifiant :
∂ 2
∂u 2 (1, z) =
1 − 12z + −z 2
z(1 − 4z) 2 +
−1 + 14z − 28z 2 − 8z 3
z(1 − 4z) 5/2
=
1
z
+
5
2(1 − 4z)
−
13
2(1 − 4z) 2 −
1
2
+
1
z
1
√
1 − 4z
+
4
(1 − 4z) 3/2 +
5
2(1 − 4z) 5/2 ,
la dernière égalité venant de la décomposition des fractions en éléments simples. En
prenant le coefficient de z n dans cette dernière expression nous obtenons, dès que
n ≥ 2,
[z
n
]
∂ 2
∂u 2 (1, z) =
5
2
[z
n
]
1
1 − 4z
−
13
2
[z
n
]
1
(1 − 4z) 2 −
1
2
[z
n
]
1
√
1 − 4z
(4.12)
−[z
n+1
]
1
√
1 − 4z
+ 4 [z
n
]
1
(1 − 4z) 3/2 +
5
2
[z
n
]
1
(1 − 4z) 5/2 .
(4.13)
Or les divers coefficients faisant intervenir des racines carrées sont donnés par la
formule (4.9), soit pour le premier terme
[z
n
]
1
√
1 − 4z
=
2n
n
=
(2n)!
(n!) 2 ,
et, pour les deux autres, plus généralement par l’application de la formule [z n ](1 +
z) α = α (α − 1) . . . (α − n + 1)/n!, valable pour α ∈ R (cf. l’appendice B.3.3) :
[z
n
]
1
(1 − 4z) 3/2 =
(2n + 1)!
(n!) 2 ;
[z
n
]
1
(1 − 4z) 5/2 =
(2n + 3)!
6n!(n + 1)!
.