Contents
1 Electromagnetics for Zero-Index Metamaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 History of Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Physical Meaning of Gradient, Divergence, and Curl . . . . . . . . . . . .
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1.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.3 Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3 Maxwell’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4 Origin of Refractive Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5 Structure-Dependent Refractive Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Reciprocal Lattice and Brillouin Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Photonic Crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Maxwell’s Equations Inside Photonic Crystals . . . . . . . . . . . 17
1.7.2 Photonic Band Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.3 Photonic Crystal Waveguides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Transition from a Photonic Crystal to a Dielectric
Metamaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.1 How Can a Photonic Crystal Be Made to Work
as a Metamaterial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2 Photonic Crystals as Metamaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Zero-Index Metamaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Silicon Carbide (SiC)—A Natural Zero-Index Material . . . . . . . . . . 28
2.3 Rectangular Waveguide—An Artificial Zero-Index System . . . . . . . 28
2.4 Zero-Index Metamaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Basic Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Dirac Cones—A Deep Insight into the Zero-Index
Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Accidental-Degeneracy-Induced Dirac Cones in Photonic
Crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Reflection and Refraction by Zero-Index Metamaterials . . . . . . . . . . 39
2.6.1 Propagation from Positive Index to Zero Index . . . . . . . . . . . 40
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1 Electromagnetics for Zero-Index Metamaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 History of Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Physical Meaning of Gradient, Divergence, and Curl . . . . . . . . . . . .
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1.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.3 Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 Maxwell’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4 Origin of Refractive Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5 Structure-Dependent Refractive Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Reciprocal Lattice and Brillouin Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Photonic Crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Maxwell’s Equations Inside Photonic Crystals . . . . . . . . . . . 17
1.7.2 Photonic Band Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.3 Photonic Crystal Waveguides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Transition from a Photonic Crystal to a Dielectric
Metamaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.1 How Can a Photonic Crystal Be Made to Work
as a Metamaterial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2 Photonic Crystals as Metamaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Zero-Index Metamaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Silicon Carbide (SiC)—A Natural Zero-Index Material . . . . . . . . . . 28
2.3 Rectangular Waveguide—An Artificial Zero-Index System . . . . . . . 28
2.4 Zero-Index Metamaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Basic Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Dirac Cones—A Deep Insight into the Zero-Index
Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Accidental-Degeneracy-Induced Dirac Cones in Photonic
Crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Reflection and Refraction by Zero-Index Metamaterials . . . . . . . . . . 39
2.6.1 Propagation from Positive Index to Zero Index . . . . . . . . . . . 40
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