6.4. LA COALESCENCE : DESCRIPTION DES GÉNÉALOGIES
2 5
Théorème 6.4.5 (cf. Durrett [31]). Soit σ une permutation choisie au hasard parmi les
permutations de {1, . . . , ,}. Soit Λ j = Card(ξ σ(j) ) la taille du j-ième bloc de la partition
Π T k− , quand les blocs sont ordonnés suivant σ. Alors (Λ 1 , . . . , Λ ) suit une loi uniforme
sur les vecteurs de (N
∗ )
dont la somme des coordonnées vaut k.
Par exemple, pour = 2, la loi de la taille d’un des deux blocs de Π T k−2 tiré au hasard
est uniformément distribuée sur {1, . . . , k − 1}.
Preuve. Chaque réarrangement ordonné des blocs de la partition Π T k− = π (constituée
de k individus) a la probabilité
c k,, w(π)
!
d’être choisi. En conditionnant par le fait que les
k individus sont répartis en les blocs de la partition π, nous obtenons
P((Λ 1 , . . . , Λ ) = (λ 1 , . . . , λ )) =
c k,, w(π)
!
k!
λ 1 !λ 2 ! . . . λ !
=
(k − )!( − 1)!
(k − 1)!
=
1
k−1
−1
.
La quantité finale ne dépend que de k et de , et pas du vecteur (λ 1 , . . . , λ ). Ainsi, la
distribution est uniforme. Vérifions que le dénominateur de la dernière fraction donne
le nombre de vecteurs composés d’entiers positifs dont la somme des coordonnées vaut k.
Imaginons k boules alignées, séparées en groupes par − 1 morceaux de carton. Les
− 1 morceaux de carton peuvent se déplacer dans les k − 1 espaces entre les boules. Il
y a donc
k−1
−1
choix possibles de vecteurs de taille d’entiers positifs dont la somme des
coordonnées est égale à k.
Comme conséquence de ce théorème, nous avons le résultat étonnant suivant.
Théorème 6.4.6 La probabilité que le plus récent ancêtre commun d’un groupe de k
individus soit le même que celui de la population totale converge vers
k−1
k+1
quand la taille
N de la population tend vers l’infini.
Par exemple, quand k = 2, cette probabilité vaut
1
3
et quand k = 10, elle est de
9
11
.
Preuve. Soit N la taille de la population. Les k individus n’ont pas le même PRAC
(plus récent ancêtre commun) que la population totale de taille N , si et seulement si au
premier branchement (dans le sens du temps physique) dans l’arbre de coalescence de la
population, il y a une partition en deux sous-arbres, et les k individus de l’échantillon
doivent nécessairement appartenir à l’un ou à l’autre de ces sous-blocs. Notons P RAC N =
P RAC k l’événement “le PRAC de la population totale de taille N diffère de celui du
groupe d’individu de taille k”. Notons P(i, N − i) l’événement “Au premier branchement,
on a partition en 2 blocs de taille (i, N − i)”. Nous pouvons alors écrire
P(P RAC N = P RAC k ) =
N
i=1
P(P RAC N = P RAC k |P(i, N − i)) × P(P(i, N − i))
(6.4.31)
2
.
2 5
Théorème 6.4.5 (cf. Durrett [31]). Soit σ une permutation choisie au hasard parmi les
permutations de {1, . . . , ,}. Soit Λ j = Card(ξ σ(j) ) la taille du j-ième bloc de la partition
Π T k− , quand les blocs sont ordonnés suivant σ. Alors (Λ 1 , . . . , Λ ) suit une loi uniforme
sur les vecteurs de (N
∗ )
dont la somme des coordonnées vaut k.
Par exemple, pour = 2, la loi de la taille d’un des deux blocs de Π T k−2 tiré au hasard
est uniformément distribuée sur {1, . . . , k − 1}.
Preuve. Chaque réarrangement ordonné des blocs de la partition Π T k− = π (constituée
de k individus) a la probabilité
c k,, w(π)
!
d’être choisi. En conditionnant par le fait que les
k individus sont répartis en les blocs de la partition π, nous obtenons
P((Λ 1 , . . . , Λ ) = (λ 1 , . . . , λ )) =
c k,, w(π)
!
k!
λ 1 !λ 2 ! . . . λ !
=
(k − )!( − 1)!
(k − 1)!
=
1
k−1
−1
.
La quantité finale ne dépend que de k et de , et pas du vecteur (λ 1 , . . . , λ ). Ainsi, la
distribution est uniforme. Vérifions que le dénominateur de la dernière fraction donne
le nombre de vecteurs composés d’entiers positifs dont la somme des coordonnées vaut k.
Imaginons k boules alignées, séparées en groupes par − 1 morceaux de carton. Les
− 1 morceaux de carton peuvent se déplacer dans les k − 1 espaces entre les boules. Il
y a donc
k−1
−1
choix possibles de vecteurs de taille d’entiers positifs dont la somme des
coordonnées est égale à k.
Comme conséquence de ce théorème, nous avons le résultat étonnant suivant.
Théorème 6.4.6 La probabilité que le plus récent ancêtre commun d’un groupe de k
individus soit le même que celui de la population totale converge vers
k−1
k+1
quand la taille
N de la population tend vers l’infini.
Par exemple, quand k = 2, cette probabilité vaut
1
3
et quand k = 10, elle est de
9
11
.
Preuve. Soit N la taille de la population. Les k individus n’ont pas le même PRAC
(plus récent ancêtre commun) que la population totale de taille N , si et seulement si au
premier branchement (dans le sens du temps physique) dans l’arbre de coalescence de la
population, il y a une partition en deux sous-arbres, et les k individus de l’échantillon
doivent nécessairement appartenir à l’un ou à l’autre de ces sous-blocs. Notons P RAC N =
P RAC k l’événement “le PRAC de la population totale de taille N diffère de celui du
groupe d’individu de taille k”. Notons P(i, N − i) l’événement “Au premier branchement,
on a partition en 2 blocs de taille (i, N − i)”. Nous pouvons alors écrire
P(P RAC N = P RAC k ) =
N
i=1
P(P RAC N = P RAC k |P(i, N − i)) × P(P(i, N − i))
(6.4.31)
2
.