6.4. LA COALESCENCE : DESCRIPTION DES GÉNÉALOGIES
2 1
Nous pouvons faire un raisonnement similaire pour calculer la probabilité que deux individus (au moins) aient le même parent. Cet événement aura lieu si l’un des trois événements
suivants est satisfait :
• exactement deux individus parmi les k individus ont le même parent,
• trois individus au moins ont le même parent,
• au moins deux paires d’individus ont un parent en commun.
La probabilité que deux individus exactement, parmi les k individus, aient le même parent
est égale à
k(k − 1)
2
1
N
,
la probabilité d’avoir le même parent pour deux individus fixés est
1
N
et il y a
k(k−1)
2
paires d’individus possibles. La probabilité des deux autres événements est de l’ordre
de
1
N 2 . En effet, la probabilité que 3 individus exactement aient le même parent sera
k
3
N
1
N 3 et la probabilité que deux paires d’individus exactement aient le même parent
vaut
k
2
k−2
2
1
N (N −1)
. Ces événements ont donc des probabilités négligeables par rapport
à la probabilité du premier événement. Ainsi, quand N tend vers l’infini, la probabilité
pour que deux individus aient le même parent est de l’ordre de
k(k−1)
2
1
N
.
En raisonnant comme dans la preuve de (6.2.7) donnée dans la Remarque 6.2.9, nous
obtenons alors que la probabilité qu’il n’y ait pas eu de parents communs pour ces k
individus dans les n premières générations est proportionnelle à
1 −
k(k − 1)
2
1
N
n
∼ N →∞ exp
−
k(k − 1)
2
n
N
.
(6.4.22)
Plaçons-nous maintenant à un instant donné. Nous allons remonter le temps à partir des
k individus de l’échantillon. Appelons T 1 le premier temps de coalescence, c’est à dire
le premier instant où les k individus ont un ancêtre commun dans leur généalogie. Nous
déduisons de (6.4.22) que
P(T 1 > n) ∼ N →∞ exp
−
k(k − 1)
2
n
N
.
Nous allons maintenant changer l’échelle de temps et prendre N générations comme nouvelle unité de temps en remplaçant n par [Nt] (qui désigne la partie entière de Nt). Ainsi,
dans cette nouvelle échelle de temps, et quand N tend vers l’infini, le premier temps de
coalescence de k individus donnés, que nous allons toujours noter T 1 , vérifiera pour tout
t > 0,
P(T 1 > t) = exp
−
k(k − 1)
2
t
.
La loi de T 1 est donc celle d’une variable aléatoire exponentielle de paramètre
k(k−1)
2
et
donc de moyenne
2
k(k−1)
.
2
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Nous pouvons faire un raisonnement similaire pour calculer la probabilité que deux individus (au moins) aient le même parent. Cet événement aura lieu si l’un des trois événements
suivants est satisfait :
• exactement deux individus parmi les k individus ont le même parent,
• trois individus au moins ont le même parent,
• au moins deux paires d’individus ont un parent en commun.
La probabilité que deux individus exactement, parmi les k individus, aient le même parent
est égale à
k(k − 1)
2
1
N
,
la probabilité d’avoir le même parent pour deux individus fixés est
1
N
et il y a
k(k−1)
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paires d’individus possibles. La probabilité des deux autres événements est de l’ordre
de
1
N 2 . En effet, la probabilité que 3 individus exactement aient le même parent sera
k
3
N
1
N 3 et la probabilité que deux paires d’individus exactement aient le même parent
vaut
k
2
k−2
2
1
N (N −1)
. Ces événements ont donc des probabilités négligeables par rapport
à la probabilité du premier événement. Ainsi, quand N tend vers l’infini, la probabilité
pour que deux individus aient le même parent est de l’ordre de
k(k−1)
2
1
N
.
En raisonnant comme dans la preuve de (6.2.7) donnée dans la Remarque 6.2.9, nous
obtenons alors que la probabilité qu’il n’y ait pas eu de parents communs pour ces k
individus dans les n premières générations est proportionnelle à
1 −
k(k − 1)
2
1
N
n
∼ N →∞ exp
−
k(k − 1)
2
n
N
.
(6.4.22)
Plaçons-nous maintenant à un instant donné. Nous allons remonter le temps à partir des
k individus de l’échantillon. Appelons T 1 le premier temps de coalescence, c’est à dire
le premier instant où les k individus ont un ancêtre commun dans leur généalogie. Nous
déduisons de (6.4.22) que
P(T 1 > n) ∼ N →∞ exp
−
k(k − 1)
2
n
N
.
Nous allons maintenant changer l’échelle de temps et prendre N générations comme nouvelle unité de temps en remplaçant n par [Nt] (qui désigne la partie entière de Nt). Ainsi,
dans cette nouvelle échelle de temps, et quand N tend vers l’infini, le premier temps de
coalescence de k individus donnés, que nous allons toujours noter T 1 , vérifiera pour tout
t > 0,
P(T 1 > t) = exp
−
k(k − 1)
2
t
.
La loi de T 1 est donc celle d’une variable aléatoire exponentielle de paramètre
k(k−1)
2
et
donc de moyenne
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k(k−1)
.
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