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21 Matrices aléatoires
— Contribution des multi-graphes orientés de type 1. Si G est un multigraphe orienté de type 1 alors E(M G ) = 1 par indépendance car les
coefficients hors diagonale de M ont une variance de 1. Cela ramène le
problème à la détermination du nombre N 1 de classes d’équivalences de
multi-graphes orientés G(r, t) de type 1. Si r est impair alors N 1 = 0.
Si r est pair, disons r = 2s, alors t = 1 + r/2 = 1 + s car le nombre
de sommets d’un arbre est toujours égal à 1 plus le nombre d’arêtes.
Ainsi les classes de type 1 sont en bijection avec les arbres planaires
enracinés à s arêtes
5 (et à 1 + s sommets), avec les parenthésages, avec
les excursions de la marche aléatoire simple, etc, voir (théorème 2.5).
Il y en a donc N 1 =
1
s+1
2s
s
(nombre de Catalan), et
cl. t. 1
n(n − 1) · · · (n − t + 1)
n 1+r/2
E(M G )
=
n
n
· · ·
n − s + 1
n
1
s + 1
2s
s
−→
n→∞
1
1 + s
2s
s
.
21.5 Pour aller plus loin
Reprenons le modèle de matrice de covariance empirique du début du
chapitre avec (Y ij ) i,j1 des v.a.r. i.i.d. de moyenne 0 et de variance 1, et
la matrice rectangulaire Y = (Y ij ) 1idn,1jn . Soit λ n,1 · · · λ n,dn
le spectre de la matrice symétrique semi-définie positive
1
n Y Y
, ordonné de
manière croissante. Supposons que lim n→∞ d n /n = ρ avec 0 < ρ < ∞. Alors le
théorème de Marchenko-Pastur, qui peut être démontré avec la même méthode
que le théorème de Wigner, bien que la mise en œuvre soit un peu plus lourde,
affirme que p.s. la mesure spectrale empirique μ n :=
1
dn
dn
k=1 δ λ n,k converge
étroitement quand n → ∞ vers la loi de Marchenko-Pastur
μ
⊕
ρ := qδ 0 +
(b − x)(x − a)
2πρx
1 [a,b] (x)dx.
avec
q := max(0, (1 − ρ
−1 )) et a := (1 −
√ ρ)
2
et b := (1 +
√ ρ)
2 .
Une illustration du théorème de Marchenko-Pastur est donnée dans la figure
21.4. Les moments de μ
⊕
ρ sont donnés pour tout r 1 par
5. On prendra garde à ne pas confondre avec les arbres binaires planaires enracinés du chapitre 4, qui sont également comptés par les nombres de Catalan !
21 Matrices aléatoires
— Contribution des multi-graphes orientés de type 1. Si G est un multigraphe orienté de type 1 alors E(M G ) = 1 par indépendance car les
coefficients hors diagonale de M ont une variance de 1. Cela ramène le
problème à la détermination du nombre N 1 de classes d’équivalences de
multi-graphes orientés G(r, t) de type 1. Si r est impair alors N 1 = 0.
Si r est pair, disons r = 2s, alors t = 1 + r/2 = 1 + s car le nombre
de sommets d’un arbre est toujours égal à 1 plus le nombre d’arêtes.
Ainsi les classes de type 1 sont en bijection avec les arbres planaires
enracinés à s arêtes
5 (et à 1 + s sommets), avec les parenthésages, avec
les excursions de la marche aléatoire simple, etc, voir (théorème 2.5).
Il y en a donc N 1 =
1
s+1
2s
s
(nombre de Catalan), et
cl. t. 1
n(n − 1) · · · (n − t + 1)
n 1+r/2
E(M G )
=
n
n
· · ·
n − s + 1
n
1
s + 1
2s
s
−→
n→∞
1
1 + s
2s
s
.
21.5 Pour aller plus loin
Reprenons le modèle de matrice de covariance empirique du début du
chapitre avec (Y ij ) i,j1 des v.a.r. i.i.d. de moyenne 0 et de variance 1, et
la matrice rectangulaire Y = (Y ij ) 1idn,1jn . Soit λ n,1 · · · λ n,dn
le spectre de la matrice symétrique semi-définie positive
1
n Y Y
, ordonné de
manière croissante. Supposons que lim n→∞ d n /n = ρ avec 0 < ρ < ∞. Alors le
théorème de Marchenko-Pastur, qui peut être démontré avec la même méthode
que le théorème de Wigner, bien que la mise en œuvre soit un peu plus lourde,
affirme que p.s. la mesure spectrale empirique μ n :=
1
dn
dn
k=1 δ λ n,k converge
étroitement quand n → ∞ vers la loi de Marchenko-Pastur
μ
⊕
ρ := qδ 0 +
(b − x)(x − a)
2πρx
1 [a,b] (x)dx.
avec
q := max(0, (1 − ρ
−1 )) et a := (1 −
√ ρ)
2
et b := (1 +
√ ρ)
2 .
Une illustration du théorème de Marchenko-Pastur est donnée dans la figure
21.4. Les moments de μ
⊕
ρ sont donnés pour tout r 1 par
5. On prendra garde à ne pas confondre avec les arbres binaires planaires enracinés du chapitre 4, qui sont également comptés par les nombres de Catalan !