1.6 Pour aller plus loin
15
La loi de Gumbel est très concentrée, et sa fonction de répartition fait
apparaître une montée abrupte de 0 à 1. Cela donne un phénomène de seuil
3
pour la variable aléatoire T . La quantité P(T > n) passe abruptement de ≈ 1
à ≈ 0 autour de n = r log(r) si r 1 :
Théorème 1.17 (Convergence abrupte en n = r log(r)). Pour tout réel c > 0,
P(T > r log(r) + rc) e
−c+εr
où 0 ε r < 1/r.
Si (c r ) r∈N ∗ est une suite qui tend vers l’infini, alors
lim
r→∞
P(T > r log(r) − rc r ) = 1.
Démonstration. La première majoration provient du théorème 1.14. D’autre
part, le théorème 1.16 affirme que (T − r log(r))/r converge en loi vers la loi
de Gumbel quand r → ∞, ce qui donne, grâce au fait que c r → ∞,
P(T > r log(r) − rc r ) = P
T − r log(r)
r
> −c r
−→
r→∞
1.
1.6 Pour aller plus loin
Notre étude du jeu de pile ou face fait l’impasse sur un certain nombre de
propriétés remarquables, comme la loi de l’arc–sinus et les principes d’invariance, abordées dans le livre de William Feller [Fel68, Fel71]. Ce livre contient
également une preuve du théorème de Berry-Esseen, à base d’analyse de Fourier. Un joli problème de la plus longue sous-suite commune à deux jeux de
pile ou face est étudié dans le livre d’optimisation combinatoire randomisée de
Michael Steele [Ste97]. L’article [Ste94] de Michael Steele sur l’approximation
par la loi de Poisson est bien éclairant. On trouvera également dans le livre
[BHJ92] de Andrew Barbour, Lars Holst, et Svante Janson une version renforcée de l’inégalité de Le Cam, obtenue par Barbour et Eagleson en utilisant
la méthode d’intégration par parties de Louis Chen et Charles Stein :
d VT (Ber(p 1 ) ∗ · · · ∗ Ber(p n ), Poi(p 1 + · · · + p n ))
(1 − e
−(p1+···+pn) )
p
2
1 + · · · + p
2
n
p 1 + · · · + p n
.
À titre de comparaison, une version inhomogène du théorème limite central
de Berry-Esseen, tirée du livre de William Feller, affirme que si (X n ) n1 sont
des variables aléatoires indépendantes alors en notant S n = X 1 + · · · + X n ,
σ
2
k = E(|X k − E(X k )|
2 ), τ
3
k = E(|X k − E(X k )|
3 ), on a
3. «Threshold phenomenon» en anglais.
15
La loi de Gumbel est très concentrée, et sa fonction de répartition fait
apparaître une montée abrupte de 0 à 1. Cela donne un phénomène de seuil
3
pour la variable aléatoire T . La quantité P(T > n) passe abruptement de ≈ 1
à ≈ 0 autour de n = r log(r) si r 1 :
Théorème 1.17 (Convergence abrupte en n = r log(r)). Pour tout réel c > 0,
P(T > r log(r) + rc) e
−c+εr
où 0 ε r < 1/r.
Si (c r ) r∈N ∗ est une suite qui tend vers l’infini, alors
lim
r→∞
P(T > r log(r) − rc r ) = 1.
Démonstration. La première majoration provient du théorème 1.14. D’autre
part, le théorème 1.16 affirme que (T − r log(r))/r converge en loi vers la loi
de Gumbel quand r → ∞, ce qui donne, grâce au fait que c r → ∞,
P(T > r log(r) − rc r ) = P
T − r log(r)
r
> −c r
−→
r→∞
1.
1.6 Pour aller plus loin
Notre étude du jeu de pile ou face fait l’impasse sur un certain nombre de
propriétés remarquables, comme la loi de l’arc–sinus et les principes d’invariance, abordées dans le livre de William Feller [Fel68, Fel71]. Ce livre contient
également une preuve du théorème de Berry-Esseen, à base d’analyse de Fourier. Un joli problème de la plus longue sous-suite commune à deux jeux de
pile ou face est étudié dans le livre d’optimisation combinatoire randomisée de
Michael Steele [Ste97]. L’article [Ste94] de Michael Steele sur l’approximation
par la loi de Poisson est bien éclairant. On trouvera également dans le livre
[BHJ92] de Andrew Barbour, Lars Holst, et Svante Janson une version renforcée de l’inégalité de Le Cam, obtenue par Barbour et Eagleson en utilisant
la méthode d’intégration par parties de Louis Chen et Charles Stein :
d VT (Ber(p 1 ) ∗ · · · ∗ Ber(p n ), Poi(p 1 + · · · + p n ))
(1 − e
−(p1+···+pn) )
p
2
1 + · · · + p
2
n
p 1 + · · · + p n
.
À titre de comparaison, une version inhomogène du théorème limite central
de Berry-Esseen, tirée du livre de William Feller, affirme que si (X n ) n1 sont
des variables aléatoires indépendantes alors en notant S n = X 1 + · · · + X n ,
σ
2
k = E(|X k − E(X k )|
2 ), τ
3
k = E(|X k − E(X k )|
3 ), on a
3. «Threshold phenomenon» en anglais.