14
1 Pile, face, coupons
lim
r→∞
P(T > r log(r) + tr) = S(t) := 1 − e
−e
−t .
Fixons t ∈ R et supposons que r est assez grand pour que r log(r) + tr > r.
Introduisons l’entier n t,r = r log(r) + tr. Le théorème 1.13 donne
P(T > r log(r) + tr) = P(T > n t,r ) =
r
k=1
(−1)
k−1
r
k
1 −
k
r
nt,r
.
Comme
r
k
r
k /k! et 1 − u e
−u pour tout u 0, on a
r
k
1 −
k
r
nt,r
−→
r→∞
e
−tk
k!
.
Enfin, par convergence dominée, on obtient
lim
r→∞
r
k=1
(−1)
k−1
r
k
1 −
k
r
nt,r
=
∞
k=1
(−1)
k−1 e
−tk
k!
= S(t).
Ceci achève la preuve du théorème. Alternativement, il est possible d’établir
le théorème en utilisant l’approximation exponentielle des lois géométriques.
Posons H k :=
1
r G r−k+1 . Pour tout k 1 fixé, la suite (H k ) rk converge en
loi vers la loi exponentielle de paramètre k. On dispose de plus de la version
quantitative suivante sur les fonctions caractéristiques : pour tout t ∈ R et
tout k 1, il existe une constante C > 0 telle que pour r assez grand,
E(e
itH k ) − E(e
itE k )
C
rk
où E k est une v.a.r. de loi exponentielle de paramètre k. En utilisant l’inégalité
|a 1 · · · a r − b 1 · · · b r | |a 1 − b 1 | + · · · + |a r − b r |, a,b ∈ {z ∈ C : |z| 1}
r ,
il vient, en considérant des variables aléatoires réelles E 1 , . . . , E r indépendantes de lois exponentielles de paramètres respectifs 1, . . . , r,
E(e
it
T
r ) − E(e
it(E1+···+Er) )
C
log(r)
r
.
Le lemme de Rényi 11.3 indique que E 1 + · · · + E r a même loi que la variable
aléatoire max(F 1 , . . . , F r ) où F 1 , . . . , F r sont des v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre 1, puis on utilise la convergence en loi vers la loi de Gumbel
de la suite de v.a.r. (max(F 1 , . . . , F r ) − log(r)) r1 .
Le théorème 1.16 fournit un intervalle de prédiction asymptotique pour la
variable aléatoire T : pour tous réels b a,
lim
r→∞
P(T ∈ [r log(r) + ra, r log(r) + rb]) = e
−e
−b − e
−e
−a .