15.5 Pour aller plus loin
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constante 2 notamment n’est pas bonne. Le modèle de Barabási et Albert a
été ensuite étudié par Béla Bollobás, Oliver Riordan, Joel Spencer, et Gábor Tusnády [BRST01]. Il peut être vu comme une instance du phénomène
d’auto-organisation. Le sujet fait toujours l’objet de recherches à l’heure où
nous écrivons ces lignes, comme en témoigne par exemple l’article [BMR14]
de Sébastien Bubeck, Elchanan Mossel, et Miklós Rácz, ou encore l’article
[CDKM14] de Nicolas Curien, Thomas Duquesne, Igor Kortchemski, et Ioan
Manolescu. La partie de ce chapitre sur les graphes aléatoires à attachement
préférentiel est inspirée du cours [Bod14] de Thierry Bodineau à l’École Polytechnique, ainsi que des livres de Remco van der Hofstad [vdH14] et de Rick
Durrett [Dur10b]. Il est possible d’utiliser l’inégalité d’Azuma-Hoeffding du
chapitre 20 pour établir que N (n, d) (sans espérance) a un comportement polynomial en d quand n → ∞. Il est également possible de modifier la règle
d’attachement préférentiel afin d’obtenir un comportement polynomial de degré différent de 3, ce qui correspond à considérer une urne de Pólya modifiée
(non-linéaire). Le mécanisme d’attachement préférentiel est également présent dans le processus de branchement de Herbert Simon et Udny Yule. La
loi discrète à décroissance polynomiale, version discrète de la loi de (Vilfredo)
Pareto, est connue sous le nom de loi de (George Kingsley) Zipf.
La partie sur la marche aléatoire renforcée est inspirée d’un texte de
Thierry Lévy. Nous renvoyons plus généralement au survol [Pem07] de Robin Pemantle sur les processus aléatoires renforcés, ainsi qu’à celui de Pierre
Tarrès [Tar11] sur les marches aléaoires renforcées. Un résultat récent sur le
renforcement se trouve par exemple dans l’article de Margherita Disertori,
Christophe Sabot, et Pierre Tarrès [DST14]. Un modèle continu de renforcement est étudié par Michel Benaïm et Olivier Raimond dans [BR11]. Le
théorème 15.9 de Herman Rubin figure dans un appendice d’un article de
Burgess Davis [Dav90].
Au-delà des modèles évoqués, le phénomène de renforcement joue un rôle
important dans la théorie de l’apprentissage. Il est également relié à une
gamme d’algorithmes stochastiques comme l’algorithme d’approximation stochastique de Robbins-Monro, lié à la théorie des systèmes dynamiques et ses
attracteurs. Les martingales constituent un outil privilégié de l’approche stochastique de la théorie des jeux et stratégies, présentée brièvement dans le
livre de Michel Benaïm et Nicole El Karoui [BEK05].
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constante 2 notamment n’est pas bonne. Le modèle de Barabási et Albert a
été ensuite étudié par Béla Bollobás, Oliver Riordan, Joel Spencer, et Gábor Tusnády [BRST01]. Il peut être vu comme une instance du phénomène
d’auto-organisation. Le sujet fait toujours l’objet de recherches à l’heure où
nous écrivons ces lignes, comme en témoigne par exemple l’article [BMR14]
de Sébastien Bubeck, Elchanan Mossel, et Miklós Rácz, ou encore l’article
[CDKM14] de Nicolas Curien, Thomas Duquesne, Igor Kortchemski, et Ioan
Manolescu. La partie de ce chapitre sur les graphes aléatoires à attachement
préférentiel est inspirée du cours [Bod14] de Thierry Bodineau à l’École Polytechnique, ainsi que des livres de Remco van der Hofstad [vdH14] et de Rick
Durrett [Dur10b]. Il est possible d’utiliser l’inégalité d’Azuma-Hoeffding du
chapitre 20 pour établir que N (n, d) (sans espérance) a un comportement polynomial en d quand n → ∞. Il est également possible de modifier la règle
d’attachement préférentiel afin d’obtenir un comportement polynomial de degré différent de 3, ce qui correspond à considérer une urne de Pólya modifiée
(non-linéaire). Le mécanisme d’attachement préférentiel est également présent dans le processus de branchement de Herbert Simon et Udny Yule. La
loi discrète à décroissance polynomiale, version discrète de la loi de (Vilfredo)
Pareto, est connue sous le nom de loi de (George Kingsley) Zipf.
La partie sur la marche aléatoire renforcée est inspirée d’un texte de
Thierry Lévy. Nous renvoyons plus généralement au survol [Pem07] de Robin Pemantle sur les processus aléatoires renforcés, ainsi qu’à celui de Pierre
Tarrès [Tar11] sur les marches aléaoires renforcées. Un résultat récent sur le
renforcement se trouve par exemple dans l’article de Margherita Disertori,
Christophe Sabot, et Pierre Tarrès [DST14]. Un modèle continu de renforcement est étudié par Michel Benaïm et Olivier Raimond dans [BR11]. Le
théorème 15.9 de Herman Rubin figure dans un appendice d’un article de
Burgess Davis [Dav90].
Au-delà des modèles évoqués, le phénomène de renforcement joue un rôle
important dans la théorie de l’apprentissage. Il est également relié à une
gamme d’algorithmes stochastiques comme l’algorithme d’approximation stochastique de Robbins-Monro, lié à la théorie des systèmes dynamiques et ses
attracteurs. Les martingales constituent un outil privilégié de l’approche stochastique de la théorie des jeux et stratégies, présentée brièvement dans le
livre de Michel Benaïm et Nicole El Karoui [BEK05].