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15 Renforcement
À présent, on définit les ensembles aléatoires
A =
n
k=0
E
α
k : n 0
et B =
n
k=0
E
β
k : n 0
et G = A ∪ B.
Soit ξ 0 < ξ 1 < · · · les éléments de G rangés par ordre croissant. On considère
à présent la suite aléatoire (X
n ) n1 à valeurs dans {α, β} définie par X
n = α
si ξ n−1 ∈ A et X
n = β si ξ n−1 ∈ B. Les suites (X
n ) n1 et (X n ) n1 ont
même loi, et cela découle des propriétés des lois exponentielles dont l’absence
de mémoire. Examinons l’égalité en loi de X 1 et X
1 . Si U et V sont deux
variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de moyennes 1/u et
1/v alors P(U < V ) = u/(u + v) et P(V < U) = v/(u + v), ce qui fait que
P(X
1 = α) = P(ξ 0 ∈ A) = P(E
α
0 E
β
0 ) =
S α (0)
S α (0) + S β (0)
= P(X 1 = α).
La même idée fournit (avec du labeur !) l’égalité en loi de (X n ) n1 et (X
n ) n1 .
À présent une loi du zéro-un pour les lois exponentielles (théorème 11.5)
affirme que p := P(
∞
n=0 E
α
n < ∞) ∈ {0, 1}, avec p = 1 ssi ϕ α < ∞. La même
propriété a lieu pour la suite (E
β
n ) n0 avec ϕ β . Par ailleurs, on a les formules
p β = P(
∞
n=0 E
α
n <
∞
n=0 E
β
n ) et p α = P(
∞
n=0 E
β
n <
∞
n=0 E
α
n ).
15.5 Pour aller plus loin
Les urnes de Pólya sont étudiées notamment dans le livre de Hosam Mahmoud [Mah09], dans celui de Norman Johnson et Samuel Kotz [JK77], et
dans les articles de survol de Samuel Kotz et Narayanaswamy Balakrishnan
[KB97] et de Robin Pemantle [Pem07]. Les urnes de Pólya portent le nom du
mathématicien hongrois George Pólya. L’école hongroise de mathématiques a
beaucoup développé les mathématiques discrètes aléatoires, avec notamment
les célèbres travaux de Paul Erdős et Alfréd Rényi des années 1950 sur les
graphes aléatoires. Le modèle de graphe aléatoire à attachement préférentiel
a été introduit par les physiciens hongrois Albert-László Barabási et Réka
Albert [AB99, AB02]. Voici leur heuristique pour le comportement en d
−3 :
si les degrés et le temps étaient continus, on aurait l’équation d’évolution
∂ t d t,k =
d t,k
k d t,k
=
d t,k
2t
,
qui donne la formule d t,k = (t/t k )
1/2 où t k est le temps d’apparition du
site k, et comme les sites sont ajoutés uniformément sur [0, t], on obtient la
formule P(d t,k > d) = P(t k < t/d
2 ) = 1/d
2 , d’où en dérivant, la formule
très simple P(d t,k = d) = 2/d
3 , qui est le comportement polynomial (puissance) suggéré par les simulations. Cette approche est peu rigoureuse, et la
15 Renforcement
À présent, on définit les ensembles aléatoires
A =
n
k=0
E
α
k : n 0
et B =
n
k=0
E
β
k : n 0
et G = A ∪ B.
Soit ξ 0 < ξ 1 < · · · les éléments de G rangés par ordre croissant. On considère
à présent la suite aléatoire (X
n ) n1 à valeurs dans {α, β} définie par X
n = α
si ξ n−1 ∈ A et X
n = β si ξ n−1 ∈ B. Les suites (X
n ) n1 et (X n ) n1 ont
même loi, et cela découle des propriétés des lois exponentielles dont l’absence
de mémoire. Examinons l’égalité en loi de X 1 et X
1 . Si U et V sont deux
variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de moyennes 1/u et
1/v alors P(U < V ) = u/(u + v) et P(V < U) = v/(u + v), ce qui fait que
P(X
1 = α) = P(ξ 0 ∈ A) = P(E
α
0 E
β
0 ) =
S α (0)
S α (0) + S β (0)
= P(X 1 = α).
La même idée fournit (avec du labeur !) l’égalité en loi de (X n ) n1 et (X
n ) n1 .
À présent une loi du zéro-un pour les lois exponentielles (théorème 11.5)
affirme que p := P(
∞
n=0 E
α
n < ∞) ∈ {0, 1}, avec p = 1 ssi ϕ α < ∞. La même
propriété a lieu pour la suite (E
β
n ) n0 avec ϕ β . Par ailleurs, on a les formules
p β = P(
∞
n=0 E
α
n <
∞
n=0 E
β
n ) et p α = P(
∞
n=0 E
β
n <
∞
n=0 E
α
n ).
15.5 Pour aller plus loin
Les urnes de Pólya sont étudiées notamment dans le livre de Hosam Mahmoud [Mah09], dans celui de Norman Johnson et Samuel Kotz [JK77], et
dans les articles de survol de Samuel Kotz et Narayanaswamy Balakrishnan
[KB97] et de Robin Pemantle [Pem07]. Les urnes de Pólya portent le nom du
mathématicien hongrois George Pólya. L’école hongroise de mathématiques a
beaucoup développé les mathématiques discrètes aléatoires, avec notamment
les célèbres travaux de Paul Erdős et Alfréd Rényi des années 1950 sur les
graphes aléatoires. Le modèle de graphe aléatoire à attachement préférentiel
a été introduit par les physiciens hongrois Albert-László Barabási et Réka
Albert [AB99, AB02]. Voici leur heuristique pour le comportement en d
−3 :
si les degrés et le temps étaient continus, on aurait l’équation d’évolution
∂ t d t,k =
d t,k
k d t,k
=
d t,k
2t
,
qui donne la formule d t,k = (t/t k )
1/2 où t k est le temps d’apparition du
site k, et comme les sites sont ajoutés uniformément sur [0, t], on obtient la
formule P(d t,k > d) = P(t k < t/d
2 ) = 1/d
2 , d’où en dérivant, la formule
très simple P(d t,k = d) = 2/d
3 , qui est le comportement polynomial (puissance) suggéré par les simulations. Cette approche est peu rigoureuse, et la