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15 Renforcement
n
0
50
100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Mn
Urne de Polya, a=1, b=1
Fig. 15.1. Quelques trajectoires de l’urne de Pólya.
= · · · =
1
Beta(a, b)
t
0
u
a−1 (1 − u)
b−1 du.
Les théorèmes 15.1 et 15.2 s’étendent au cas où a et b sont réels > 0, ce
qui motive en particulier l’usage des fonctions Gamma et Beta plutôt que des
factorielles. Dans ce cas, on peut remplacer le concept d’urne par le concept
de partition d’intervalle.
Remarque 15.3 (Urne de Pólya généralisée). Généralisons le mécanisme de
renforcement comme suit : on se donne un entier r −1, et, à chaque tirage,
on remet dans l’urne 1 + r boules de la couleur tirée.
— si r = 1 on retrouve l’urne de Pólya que nous avons étudiée, pour
laquelle Y n suit la loi Beta-binomiale ;
— si r = 0, alors on a des tirages avec remise et Y n est binomiale ;
— si r = −1 alors on a des tirages sans remise et Y n est hypergéométrique ;
— de manière générale, pour tout r −1 et tout k ∈ {0, 1, . . . , n}, on a
P(Y n = k) =
a
(r,k) b
(r,k)
(a + b) (r,k) où c
(r,k) := c(c + r) · · · (c + (k − 1)r).
On obtient dans ce cas que M ∞ suit la loi Beta de paramètre (a/r, b/r).
Il est possible de considérer un nombre arbitraire de couleurs, ce qui fournit
un modèle incluant le modèle d’échantillonnage de la loi hypergéométrique
multitypes. De nombreux modèles de renforcement peuvent être obtenus comme
une version généralisée de l’urne de Pólya.